Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
12 (1+x) d yd x-x y=x+x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
(1+x),dydx-x,y = x + x^2
por separação de variáveis. Observando, notamos que se trata de uma equação diferencial de 1ª ordem linear em y. Para resolver precisamos colocar na forma padrão e usar fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma
dydx + P(x),y = Q(x)
Dividindo tudo por 1+x, obtemos
dydx - x1+x,y = x + x^21+x = x
Portanto
P(x) = -x1+x, Q(x) = x

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral -x1+x,dxr)
Fazendo
integral -x1+x,dx = -integrall(1 - 11+xr),dx = -l(x - ln(1+x)r) = -x + ln(1+x),
logo
mu(x) = expl(-x + ln(1+x)r) = (1+x),e^-x

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por mu(x) e reconhecemos a derivada do produto:
(1+x)e^-x,dydx - x e^-x,y = x,(1+x)e^-x Longrightarrow ddxl((1+x)e^-xyr) = x(1+x)e^-x
Integramos ambos os lados:
(1+x)e^-xy = integral x(1+x)e^-x,dx + C
Para calcular integral x(1+x)e^-xdx = integral (x + x^2)e^-xdx usamos integração por partes duas vezes e achamos
integral (x + x^2)e^-xdx = -l(x^2 + 3x + 3r)e^-x + widetilde C
Assim
(1+x)e^-xy = -l(x^2 + 3x + 3r)e^-x + C

Passo 5

Isolando y, multiplicamos por e^x/(1+x):
y = -l(x^2 + 3x + 3r)e^-x + C(1+x)e^-x = C,e^x - l(x^2 + 3x + 3r)1+x

Resposta

y(x) = C,e^x - l(x^2 + 3x + 3r)1+x

Exercícios relacionados