Em quanto tempo o montante produzido por um capital de 1920 25 % $2400 15 %$ a.a? Admita que ambos sejam investidos na mesma data.

Passo 1

O enunciado pergunta em quanto tempo o montante de um capital de $1920 aplicado a 25% ao ano fica igual ao montante de um capital de $2400 aplicado a 15% ao ano. O conteúdo é juros compostos e vamos precisar usar a fórmula do montante composto:
M = C,(1+i)^t
onde M é o montante, C é o capital inicial, i é a taxa de juros e t o tempo em anos.

Passo 2

Escrevendo o montante de cada aplicação em função de t:
  • Para C1=$1920 a i1=25% a.a.:
M1 = 1920,(1+0,25)^t = 1920 cdot 1,25^t
  • Para C2=$2400 a i2=15% a.a.:
M2 = 2400,(1+0,15)^t = 2400 cdot 1,15^t

Passo 3

Igualamos os montantes para encontrar t:
1920 cdot 1,25^t ;=; 2400 cdot 1,15^t

Passo 4

Isolamos t. Primeiro dividimos ambos os lados por 1920 e depois por 1,15^t:
1,25^t ;=; 24001920;1,15^t Longrightarrow 1,25^t1,15^t ;=; 24001920
Como tfrac24001920=1,25 e tfrac1,25^t1,15^t=(tfrac1,251,15)^t, temos
l(tfrac1,251,15r)^t = 1,25
Aplicando logaritmo natural:
t = ln(1,25)lnl(tfrac1,251,15r)

Passo 5

Calculando numericamente:
ln(1,25)approx0,22314, lnl(tfrac1,251,15r)approx0,08343,
t approx 0,223140,08343 approx 2,6759 anos
Convertendo a parte fracionária em meses: 0,6759times12approx8,11 meses.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 2,68 anos, ou cerca de 2 anos e 8 meses.

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