2.1.8.

a) Para A=|lll0 & 3 & 0 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0|, calcule A^2, A^3.
b) Sabendo-se que se uma matriz quadrada A é tal que A^3=tilde0, então (In-A)^-1=In+A+A^2 calcule a inversa da matriz B=|ccc1 & -3 & 0 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1|.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 0 & 3 & 0 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0
e pede A^2 e A^3. Em seguida, sabemos que se A^3=0 então
l(In-Ar)^-1 = In + A + A^2
Como a matriz
B = 1 & -3 & 0 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1
satisfaz B=I3-A, podemos usar essa fórmula para achar B^-1.

Passo 2

Para calcular A^2 fazemos o produto A,A. Observando que em A só há entradas não-nulas em (1,2)=3 e (2,3)=2, temos
A^2 = 0 & 3 & 0 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & 6 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 3

Agora A^3 = A^2,A. Como A^2 só tem a entrada (1,3)=6 e A não tem elemento na coluna 3 para gerar produto, resulta
A^3 = 0

Passo 4

Vimos que B=I3-A e que A^3=0. Pelo enunciado,
B^-1 = (I3-A)^-1 = I3 + A + A^2

Passo 5

Somando termo a termo,
I3 + A + A^2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 + 0 & 3 & 0 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 + 0 & 0 & 6 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 1 & 3 & 6 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1

Resposta

A^2 = 0 & 0 & 6 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , A^3=0, B^-1 = 1 & 3 & 6 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1

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