(Outra demonstração da enumerabilidade de Q.)
Para cada n in N, n >= 2, defina
An=pq rvert, p, q in Z, p>0, q>0, mdc(p, q)=1, p+q=n
Por exemplo, A2=11 e A4=13, 22, 31.
Verifique que Q+^*=cupn=2^infty An, onde Q+^* denota os racionais positivos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata da enumerabilidade dos racionais positivos. A ideia é mostrar que podemos listar todos os números racionais positivos de uma maneira organizada usando os conjuntos An . Para isso, vamos precisar entender como esses conjuntos An são definidos e por que a união de todos eles cobre todos os racionais positivos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o conjunto An . Para cada número natural n >= 2 , An é o conjunto de todas as frações pq onde:
  • p e q são inteiros positivos,
  • o máximo divisor comum de p e q é 1 (ou seja, p e q são coprimos),
  • a soma de p e q é igual a n .
Por exemplo, para n = 4 , temos A4 = 13, 22, 31 .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que todo número racional positivo pertence a pelo menos um desses conjuntos An . Ou seja, se pegarmos qualquer ab com a, b positivos e coprimos, existe um n tal que a + b = n .
Vamos considerar um número racional positivo ab . Sabemos que a e b são inteiros positivos e coprimos. Definimos n = a + b . Como a e b são positivos e somados dão n , então ab pertence a An .

Passo 4

Além disso, como para cada n temos um conjunto An , e cada racional positivo aparece exatamente uma vez em algum An (já que a e b são coprimos e a soma a + b determina n ), a união de todos esses conjuntos An realmente cobre todos os racionais positivos sem repetições.

Passo 5

Portanto, concluímos que todos os números racionais positivos estão incluídos na união infinita dos conjuntos An , ou seja:
Q+^* = cupn=2^infty An

Resposta

Assim, demonstramos que a união de todos os conjuntos An para n >= 2 abrange todos os números racionais positivos, ou seja, Q+^* = cupn=2^infty An .

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