Seja X um conjunto. O conjunto de todos os subconjuntos de X, i.e.,
P(X)=A mid A subset X
é chamado de conjunto das partes de X.
Se card (X)=n, quanto vale card (P(X)) ? Por que não existe nenhuma função sobrejetiva f: X P(X) neste caso?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A questão fala sobre conjuntos e subconjuntos. Especificamente, temos um conjunto X com n elementos, e queremos descobrir quantos subconjuntos ele tem, ou seja, qual é o valor de card(P(X)) . Além disso, precisamos explicar por que não existe nenhuma função sobrejetiva f: X P(X) nesse caso. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto das partes (ou conjunto potência) e o conceito de funções sobrejetivas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o conjunto das partes, P(X) . Esse conjunto é formado por todos os possíveis subconjuntos de X , incluindo o próprio conjunto vazio e X inteiro. Se X tem n elementos, cada elemento pode estar ou não em um subconjunto, o que nos dá várias combinações.

Passo 3

Para encontrar a quantidade de subconjuntos que X tem, usamos uma regra da matemática: para cada elemento, temos duas opções (está ou não está no subconjunto). Então, se X tem n elementos, o número total de subconjuntos é 2^n . Portanto, card(P(X)) = 2^n .

Passo 4

Agora, vamos entender o que significa uma função ser sobrejetiva. Uma função f: X Y é sobrejetiva se todo elemento de Y tem pelo menos um elemento de X que mapeia para ele. Ou seja, para cada y in Y , existe pelo menos um x in X tal que f(x) = y .

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso, estamos tentando encontrar uma função f: X P(X) que seja sobrejetiva. Mas sabemos que card(X) = n e card(P(X)) = 2^n . Como 2^n é maior que n para qualquer n > 0 , isso significa que temos mais subconjuntos do que elementos em X .

Passo 6

Por causa dessa diferença no número de elementos, não é possível que cada subconjunto tenha um elemento único de X mapeando para ele. Sempre haverá subconjuntos que não serão atingidos por nenhum elemento de X , o que torna impossível ter uma função sobrejetiva nesse caso.

Resposta

Portanto, card(P(X)) = 2^n e não existe nenhuma função sobrejetiva f: X P(X) porque o conjunto das partes de X tem mais elementos do que X possui, impossibilitando cobrir todos os subconjuntos com uma única função.

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