Seja
um conjunto. O conjunto de todos os subconjuntos de
, i.e.,
é chamado de conjunto das partes de
.
Se card
, quanto vale card
? Por que não existe nenhuma função sobrejetiva
neste caso?
Se card
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A questão fala sobre conjuntos e subconjuntos. Especificamente, temos um conjunto
com
elementos, e queremos descobrir quantos subconjuntos ele tem, ou seja, qual é o valor de
. Além disso, precisamos explicar por que não existe nenhuma função sobrejetiva
nesse caso. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto das partes (ou conjunto potência) e o conceito de funções sobrejetivas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o conjunto das partes,
. Esse conjunto é formado por todos os possíveis subconjuntos de
, incluindo o próprio conjunto vazio e
inteiro. Se
tem
elementos, cada elemento pode estar ou não em um subconjunto, o que nos dá várias combinações.
Passo 3
Para encontrar a quantidade de subconjuntos que
tem, usamos uma regra da matemática: para cada elemento, temos duas opções (está ou não está no subconjunto). Então, se
tem
elementos, o número total de subconjuntos é
. Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos entender o que significa uma função ser sobrejetiva. Uma função
é sobrejetiva se todo elemento de
tem pelo menos um elemento de
que mapeia para ele. Ou seja, para cada
, existe pelo menos um
tal que
.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso, estamos tentando encontrar uma função
que seja sobrejetiva. Mas sabemos que
e
. Como
é maior que
para qualquer
, isso significa que temos mais subconjuntos do que elementos em
.
Passo 6
Por causa dessa diferença no número de elementos, não é possível que cada subconjunto tenha um elemento único de
mapeando para ele. Sempre haverá subconjuntos que não serão atingidos por nenhum elemento de
, o que torna impossível ter uma função sobrejetiva nesse caso.
Resposta
Portanto,
e não existe nenhuma função sobrejetiva
porque o conjunto das partes de
tem mais elementos do que
possui, impossibilitando cobrir todos os subconjuntos com uma única função.