(Outra demonstração da enumerabilidade de Q.)
Seja f: Q mapsto Z times Z definida por
f(x)=(px, qx)
Prove que f é injetora e conclua daqui que Q é enumerável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que a função f: Q to Z times Z , definida por f(x) = (px, qx) , é injetora. Depois disso, precisamos concluir que os números racionais Q são enumeráveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e o que é enumerabilidade em conjuntos matemáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função f é injetora se, sempre que f(a) = f(b) , então a = b . Em outras palavras, nenhum duas entradas diferentes mapeiam para a mesma saída.
No nosso caso, f mapeia números racionais x para pares de inteiros (px, qx) . Geralmente, px e qx representam o numerador e o denominador da fração que representa o número racional x .

Passo 3

Vamos supor que f(x) = f(y) . Isso significa que:
(px, qx) = (py, qy)
O que implica que:
px = py e qx = qy
Se px = py e qx = qy , então as frações que representam x e y são iguais. Portanto, temos:
x = y
Isso mostra que se f(x) = f(y) , então x = y , o que prova que a função f é injetora.

Passo 4

Agora que sabemos que f é injetora, podemos concluir que Q é enumerável. A razão é a seguinte: sabemos que Z times Z (o conjunto dos pares de inteiros) é enumerável, ou seja, seus elementos podem ser listados de forma que cada par apareça em uma posição finita na lista.
Como f é uma injeção de Q em Z times Z , cada número racional corresponde a um par único de inteiros. Isso significa que podemos enumerar Q listando os pares de Z times Z e, consequentemente, listando todos os números racionais.

Resposta

A função f é injetora e, por isso, os números racionais Q são enumeráveis.

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