(Outra demonstração da enumerabilidade de
.)
Verifique que para cada
, existem
únicos, tais que
e
.
Verifique que para cada
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que todo número racional não nulo pode ser escrito de um jeito específico: como uma fração
, onde
e
são inteiros,
, e o máximo divisor comum (mdc) entre
e
é 1. Isso está relacionado ao tema de enumerabilidade dos racionais, que basicamente diz que os números racionais podem ser listados de forma que não fiquem faltando. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos mostrar que para qualquer número racional
, existe pelo menos uma fração
que representa
, com
e
.
Como
é racional e diferente de zero, podemos escrever
como uma fração
, onde
e
são inteiros,
. Mas queremos que
seja positivo, então se
for negativo, multiplicamos numerador e denominador por -1 para tornar
positivo. Assim, temos
com
.
Passo 3
Agora, precisamos garantir que
, ou seja, que o numerador e o denominador sejam primos entre si (não tenham divisores comuns além de 1). Para isso, identificamos o maior divisor comum (m) entre
e
, e dividimos ambos por esse mdc.
Matematicamente, se
, então podemos escrever
e
, onde
. Assim, a fração reduzida é
, que ainda representa o mesmo número
, já que
.
Passo 4
Finalmente, precisamos mostrar que essa representação é única. Suponha que existam duas frações reduzidas
e
que representam o mesmo número
. Então:
Isso implica que
. Como
e
, podemos concluir que
e
. Portanto, a representação é única.
Resposta
Para todo número racional não nulo
, existe uma única fração
, com
,
e
, que representa
.