(Outra demonstração da enumerabilidade de Q.)
Verifique que para cada x in Q^*, existem px, qx in Z, qx>0 únicos, tais que x=pxqx e mdc(px, qx)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que todo número racional não nulo pode ser escrito de um jeito específico: como uma fração pxqx , onde px e qx são inteiros, qx > 0 , e o máximo divisor comum (mdc) entre px e qx é 1. Isso está relacionado ao tema de enumerabilidade dos racionais, que basicamente diz que os números racionais podem ser listados de forma que não fiquem faltando. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos mostrar que para qualquer número racional x neq 0 , existe pelo menos uma fração pxqx que representa x , com qx > 0 e mdc(px, qx) = 1 .
Como x é racional e diferente de zero, podemos escrever x como uma fração ab , onde a e b são inteiros, b neq 0 . Mas queremos que qx seja positivo, então se b for negativo, multiplicamos numerador e denominador por -1 para tornar b positivo. Assim, temos x = pq com q > 0 .

Passo 3

Agora, precisamos garantir que mdc(p, q) = 1 , ou seja, que o numerador e o denominador sejam primos entre si (não tenham divisores comuns além de 1). Para isso, identificamos o maior divisor comum (m) entre p e q , e dividimos ambos por esse mdc.
Matematicamente, se mdc(p, q) = m , então podemos escrever p = m cdot p' e q = m cdot q' , onde mdc(p', q') = 1 . Assim, a fração reduzida é p'q' , que ainda representa o mesmo número x , já que pq = m cdot p'm cdot q' = p'q' .

Passo 4

Finalmente, precisamos mostrar que essa representação é única. Suponha que existam duas frações reduzidas pxqx e p'xq'x que representam o mesmo número x . Então:
pxqx = p'xq'x
Isso implica que px cdot q'x = p'x cdot qx . Como mdc(px, qx) = 1 e mdc(p'x, q'x) = 1 , podemos concluir que px = p'x e qx = q'x . Portanto, a representação é única.

Resposta

Para todo número racional não nulo x , existe uma única fração pxqx , com px, qx in Z , qx > 0 e mdc(px, qx) = 1 , que representa x .

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