Suponha que todos os conjuntos A1, A2, ldots, An, ldots são enumeráveis.
Prove que cupj=1^infty An é enumerável.
Sugestão: Se todos os An são infinitos, liste os elementos desses conjuntos na forma:
& A1 a11, a12, a13, ldots & A2 a21, a22, a23, ldots & A3 a31, a32, a33, ldots & vdots & An an 1, an 2, an 3, ldots,
e verifique que percorrendo a lista descendo ao longo das diagonais principais, ou seja,
a11, a12, a21, a13, a22, a31, ldots
fica definida uma função f: N cupj=1^infty An sobrejetiva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre conjuntos enumeráveis, que são basicamente conjuntos que podemos listar de forma ordenada, tipo 1, 2, 3 e por aí vai. O problema quer que a gente prove que se juntarmos uma sequência infinita desses conjuntos enumeráveis (A₁, A₂, A₃, …), o resultado também será um conjunto enumerável. Para resolver isso, vamos precisar entender como listar todos os elementos desses conjuntos de maneira organizada.

Passo 2

Primeiro, imagine que cada conjunto Aₙ é infinito e podemos listar seus elementos um a um. Vamos representar isso assim:
  • A₁ tem os elementos: a₁₁, a₁₂, a₁₃, …
  • A₂ tem os elementos: a₂₁, a₂₂, a₂₃, …
  • A₃ tem os elementos: a₃₁, a₃₂, a₃₃, …
  • E assim por diante para todos os Aₙ.

Passo 3

Agora, para juntar todos esses elementos em uma única lista ordenada, vamos usar uma estratégia chamada “percorrer pelas diagonais”. Isso significa que vamos pegar os elementos seguindo uma espécie de caminho diagonal na nossa tabela de elementos. Fica assim:
a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₁₃, a₂₂, a₃₁, …
Dessa forma, garantimos que todos os elementos de cada conjunto Aₙ serão incluídos na nossa lista final.

Passo 4

Para formalizar isso, vamos definir uma função f: ℕ → ⋃ₙAₙ que mapeia cada número natural para um elemento específico da nossa união. A função f vai seguir a ordem em que listamos os elementos pelas diagonais. Assim, cada número natural corresponde a exatamente um elemento na união dos conjuntos.

Passo 5

Como conseguimos listar todos os elementos dessa forma, sem deixar nenhum de fora, a função f é sobrejetiva. Isso quer dizer que cada elemento da união ⋃ₙAₙ tem pelo menos um número natural que o mapeia. Portanto, a união dos conjuntos A₁, A₂, A₃, … é enumerável.

Resposta

Portanto, provamos que a união infinita dos conjuntos enumeráveis A₁, A₂, A₃, … também é um conjunto enumerável.

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