(Outra demonstração da enumerabilidade de Q.)
Para m, n in Z+, definimos o conjunto de representações decimais
Xm, n=r in Q mid r=0, b1 b2 ldots bm overlinep1 p2 ldots pn, bj, pj in0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Prove que Xm, n é finito e calcule |Xm, n|.

Passo 1

O enunciado fixa dois inteiros positivos m,n e define
Xm,n=l,rinQmid r=0,b1b2dots bmp1p2dots pn,;bj,pjin0,1,2,3,4,5,6,7,8,9r
Ou seja, Xm,n é o conjunto dos racionais que têm uma parte decimal com m dígitos fixos seguida de um período de n dígitos. Vamos mostrar que Xm,n é finito e contar quantos elementos distintos ele tem.

Passo 2

Cada elemento de Xm,n é dado por uma escolha de (b1,dots,bm) e de (p1,dots,pn). Há exatamente 10^m maneiras de escolher os b e 10^n maneiras de escolher os p. Portanto, o número de representações decimais possíveis (antes de levar em conta repetições de valor) é
10^mtimes 10^n=10^,m+n
Isto mostra que Xm,n é finito (é subconjunto de um conjunto de tamanho 10^m+n).

Passo 3

Porém, algumas dessas representações dão o mesmo número racional. Em particular, toda expansão que termina em repetição de zeros tem uma expansão “equivalente” que termina em repetição de noves. Por exemplo,
0.1200=0.1199
Logo cada escolha (b1,dots,bm,,0,dots,0) com pelo menos um bjneq0 coincide com outra escolha que empurra o “ -1” para o último dígito não nulo dos b e passa a repetir noves.

Passo 4

Quantas duplicações desse tipo há? A expansão com 0 em p ocorre para todas as 10^m escolhas de (b1,dots,bm). Destas, a única que não gera duplicata é a completamente nula (0,0,dots,0), pois não há nenhum dígito não nulo para subtrair 1. Logo o número de pares de representações idênticas é
10^m-1

Passo 5

Tirando dessas 10^m+n representações as (10^m-1) duplicatas a menos, chegamos ao número de racionais distintos em Xm,n:
l|Xm,nr| =10^,m+n-l(10^m-1r) =10^,m+n-10^m+1

Resposta

l|Xm,nr|=10^,m+n-10^m+1

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