Um problema não resolvido é se existe uma infinidade de primos que são sucessores imediatos de uma potência de 2 , tal como 5=2^{2}+1.
Encontre mais dois destes primos.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar números primos da forma “potência de 2 mais 1”, ou seja, primos do tipo
2^n + 1
para algum inteiro n. Já sabemos que para n=2 obtemos 5. Vamos testar outros valores de n para achar mais dois primos dessa forma, verificando a primalidade de cada candidato.

Passo 2

Escolhemos n=4. Calculamos
2^4 + 1 = 16 + 1 = 17.
Para verificar que 17 é primo, basta checar que não há divisor inteiro em \{2,3,4\}, pois \sqrt{17}\approx4,12. De fato,
17 \bmod 2 = 1,\quad 17 \bmod 3 = 2,\quad 17 \bmod 4 = 1,
logo nenhum deles divide 17. Portanto, 17 é primo.

Passo 3

Agora escolhemos n=8. Calculamos
2^8 + 1 = 256 + 1 = 257.
Para testar primalidade de 257, checamos todos os divisores até \lfloor\sqrt{257}\rfloor=16. Os primos até 16 são 2,3,5,7,11,13. Fazendo as divisões, vemos que nenhum desses divide 257. Portanto, 257 é também primo.

Resposta

Os dois outros primos da forma 2^n+1 são 17 e 257.

Exercícios relacionados