Se |v|=5 e |w|=3, quais são os menores e maiores valores possíveis de |v-w| ? Quais são os menores e maiores valores possíveis de v cdot w ?

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores v e w tais que |v|=5 e |w|=3. Precisamos encontrar:
– os menores e maiores valores possíveis de |v-w|;
– os menores e maiores valores possíveis de vcdotw.
Para isso vamos usar a desigualdade triangular (e sua forma reversa) para normas, e a definição do produto escalar em termos de ângulo.

Passo 2

Para |v-w| aplicamos a desigualdade triangular e a desigualdade triangular reversa:
l||v| - |w|r| ;<=;|v-w|;<=;|v| + |w|
Substituindo |v|=5 e |w|=3, temos
|v-w|>= |5-3|=2,
|v-w|<= 5+3=8

Passo 3

Para vcdotw usamos a fórmula
vcdotw=|v|;|w|;costheta,
onde theta é o ângulo entre os vetores. Como costheta varia entre -1 e 1, obtemos
vcdotwin[-|v||w|,;|v||w|]=[-5cdot3,;5cdot3]=[-15,;15]

Resposta

Os valores de |v-w| variam de 2 até 8.
Os valores de vcdotw variam de -15 até 15.

Exercícios relacionados