Se
e
, resolva cada uma das alternativas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
,
e
.
Pede-se calcular o produto escalar .
Então temos os dados das componentes de e
e queremos um número (o produto escalar dos vetores com escalares aplicados).
Pede-se calcular o produto escalar
Então temos os dados das componentes de
Passo 2
Vou lembrar duas coisas fundamentais sobre produto escalar que usamos aqui. Primeiro, a definição componente a componente: se
e
, então
Segundo, o produto escalar é linear em cada fator, o que implica que para escalares
vale
Essa propriedade vem direto da definição componente a componente, porque
e
, então somando os produtos dá o fator
comum.
Passo 3
Aplicando a propriedade de linearidade ao nosso caso, com
,
,
e
, obtemos
Ou seja, basta calcular
e multiplicar por
.
Passo 4
Calculemos
pela definição componente a componente. Usando
e
,
Agora faço as multiplicações e soma passo a passo:
logo
Passo 5
Voltando à expressão do Passo 3, multiplicamos por
:
Passo 6
Confirmação alternativa (fazendo primeiro as multiplicações escalares e depois o produto escalar):
Calcule e
:
Calcule
Agora o produto escalar:
confirma que o resultado está correto. Bom trabalho — essa propriedade de linearidade é ótima para economizar tempo na prova!