Se \overrightarrow{\mathrm{u}}=(3,1,2), \overrightarrow{\mathrm{v}}=(2,4,1) e \vec{w}=(1,0,1), resolva cada uma das alternativas abaixo:
(2 \vec{u}) \cdot(3 \vec{v})

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\overrightarrow{\mathrm{u}}=(3,1,2), \overrightarrow{\mathrm{v}}=(2,4,1) e \vec{w}=(1,0,1).
Pede-se calcular o produto escalar (2\vec{u})\cdot(3\vec{v}).
Então temos os dados das componentes de \vec{u} e \vec{v} e queremos um número (o produto escalar dos vetores com escalares aplicados).

Passo 2

Vou lembrar duas coisas fundamentais sobre produto escalar que usamos aqui. Primeiro, a definição componente a componente: se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Segundo, o produto escalar é linear em cada fator, o que implica que para escalares \lambda,\mu vale
(\lambda\vec{a})\cdot(\mu\vec{b})=\lambda\mu(\vec{a}\cdot\vec{b}).
Essa propriedade vem direto da definição componente a componente, porque (\lambda\vec{a})_i=\lambda a_i e (\mu\vec{b})_i=\mu b_i, então somando os produtos dá o fator \lambda\mu comum.

Passo 3

Aplicando a propriedade de linearidade ao nosso caso, com \lambda=2, \mu=3, \vec{a}=\vec{u} e \vec{b}=\vec{v}, obtemos
(2\vec{u})\cdot(3\vec{v})=2\cdot 3\;(\vec{u}\cdot\vec{v})=6(\vec{u}\cdot\vec{v}).
Ou seja, basta calcular \vec{u}\cdot\vec{v} e multiplicar por 6.

Passo 4

Calculemos \vec{u}\cdot\vec{v} pela definição componente a componente. Usando \vec{u}=(3,1,2) e \vec{v}=(2,4,1),
\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot 2 + 1\cdot 4 + 2\cdot 1.
Agora faço as multiplicações e soma passo a passo:
3\cdot 2 = 6,\quad 1\cdot 4 = 4,\quad 2\cdot 1 = 2,
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\vec{u}\cdot\vec{v}=6+4+2=12.

Passo 5

Voltando à expressão do Passo 3, multiplicamos por 6:
(2\vec{u})\cdot(3\vec{v})=6\cdot 12=72.

Passo 6

Confirmação alternativa (fazendo primeiro as multiplicações escalares e depois o produto escalar):
Calcule 2\vec{u} e 3\vec{v}:
2\vec{u}=(6,2,4),\qquad 3\vec{v}=(6,12,3).
Agora o produto escalar:
(6,2,4)\cdot(6,12,3)=6\cdot 6 + 2\cdot 12 + 4\cdot 3=36+24+12=72,
confirma que o resultado está correto. Bom trabalho — essa propriedade de linearidade é ótima para economizar tempo na prova!

Resposta

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