( 2,0 pontos) Verificar se a integral imprópria
converge. Em caso positivo, determinar seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
e, se ela convergir, calcular seu valor. O tema envolve integrals impróprias e mudança de variável trigonométrica.
Passo 2
Para checar a convergência, analisamos o comportamento de
quando
. Como para
próximo de
temos
, o integrando comporta-se como
que é integrável em
. Logo, a integral converge.
Passo 3
Para calcular o valor, fazemos a substituição trigonométrica
Dessa forma
e o integrando vira
Passo 4
Integramos em
:
Voltando a
, note que
Assim uma primitiva é
Passo 5
Aplicando os limites de
a
:
Resposta
A integral converge e vale
.