( 2,0 pontos) Verificar se a integral imprópria
\int_{3}^{10} \frac{d x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-9}}
converge. Em caso positivo, determinar seu valor.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
\int_{3}^{10} \frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-9}}
e, se ela convergir, calcular seu valor. O tema envolve integrals impróprias e mudança de variável trigonométrica.

Passo 2

Para checar a convergência, analisamos o comportamento de \frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}-9}} quando x\to3^{+}. Como para x próximo de 3 temos \sqrt{x^{2}-9}\sim\sqrt{6}\,\sqrt{x-3}, o integrando comporta-se como
\frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}-9}}\sim \frac{1}{9\sqrt{6}}\,(x-3)^{-\tfrac12},
que é integrável em 3. Logo, a integral converge.

Passo 3

Para calcular o valor, fazemos a substituição trigonométrica
x=3\operatorname{sec}\theta,\quad \theta\in\bigl[0,\operatorname{arccos}\tfrac{3}{10}\bigr].
Dessa forma
dx=3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta, \quad \sqrt{x^{2}-9}=3\tan\theta,
e o integrando vira
\frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-9}} =\frac{3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta}{(3\operatorname{sec}\theta)^{2}\,(3\tan\theta)} =\frac{\cos\theta}{9}\,d\theta.

Passo 4

Integramos em \theta:
\int \frac{\cos\theta}{9}\,d\theta =\frac{1}{9}\sin\theta + C.
Voltando a x, note que
\sin\theta=\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}.
Assim uma primitiva é
F(x)=\frac{1}{9}\,\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}.

Passo 5

Aplicando os limites de 3 a 10:
\int_{3}^{10}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-9}} =F(10)-\lim_{x\to3^{+}}F(x) =\frac{1}{9}\,\frac{\sqrt{10^{2}-9}}{10}-0 =\frac{\sqrt{91}}{90}.

Resposta

A integral converge e vale \displaystyle \frac{\sqrt{91}}{90}.

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