São dadas três esferas metálicas e isoladas, e , de raios e , respectivamente, com $R=30
c . A esfera está eletrizada com potencial elétrico de $3,0
c10^{3} \mathrm{~V} B$ e C estão descarregadas.
É dada a constante eletrostática do meio .
P. 80 a) Determine a carga elétrica inicial da esfera .
b) Unem-se as três esferas por meio de fios condutores de capacitâncias desprezíveis. Qual é o potencial elétrico de equilibrio e quais são as novas cargas elétricas e , das esferas e , respectivamente?
c) Sabe-se que ao se estabelecer a ligação entre os condutores ocorre, entre eles, uma transferência de elétrons. Analise entre quais condutores se deu essa passagem de elétrons e determine o número de elétrons que os condutores trocaram.
É dada a carga elétrica do elétron, de valor absoluto .

Passo 1

O enunciado trata de três esferas metálicas isoladas A, B e C de raios R, R e 2R, com R=0,30,m. A esfera A está a potencial VA=3,0times10^3,V, e as esferas B e C estão inicialmente descarregadas ( VB=VC=0). Vamos usar o conceito de capacitância de uma esfera isolada e conservação de carga para (a) achar a carga inicial de A, (b) o potencial de equilíbrio e as cargas finais ao ligar todas por fios, e (c) determinar o fluxo de elétrons entre os condutores.

Passo 2

A capacitância de uma esfera isolada de raio r no vácuo (ou meio com constante eletrostática k0) é
C = 4pivarepsilon0,r,
mas como k0 = 14pivarepsilon0, tem-se
C = rk0
Para a esfera A (raio R) a carga inicial é
Q!A,ini = CA,VA = Rk0;VA
Numericamente,
Q!A,ini = 0,309,0times10^9times3,0times10^3 =1,0times10^-7;C

Passo 3

Ao ligar A, B e C por fios condutores (capacitâncias dos fios desprezíveis), o potencial final V é o mesmo em todas e a carga total se conserva:
Qtot =Q!A,ini+0+0 =1,0times10^-7,C
A capacitância total vale
Ctot =CA+CB+CC =Rk0+Rk0+2Rk0 =4Rk0
Assim
V = QtotCtot = 1,0times10^-74R/k0 = VA4 = 3,0times10^34 =7,5times10^2;V

Passo 4

As cargas finais são Qi=Ci,V. Logo
QA = Rk0,V =1,0times10^-74 =2,5times10^-8;C,
QB = Rk0,V =2,5times10^-8;C,
QC = 2Rk0,V =2times2,5times10^-8 =5,0times10^-8;C

Passo 5

Comparando cargas antes e depois:
  • A vai de +1,0times10^-7 C a +2,5times10^-8 C, perdendo 7,5times10^-8 C de carga positiva (ou seja, ganhando elétrons).
  • B vai de 0 a +2,5times10^-8 C, perdendo 2,5times10^-8 C de elétrons.
  • C vai de 0 a +5,0times10^-8 C, perdendo 5,0times10^-8 C de elétrons.
Logo, elétrons fluíram de B e C para A. O número de elétrons transferidos é
nB = 2,5times10^-81,6times10^-19 approx1,56times10^11, nC = 5,0times10^-81,6times10^-19 approx3,12times10^11

Resposta

a) Q!A,ini=1,0times10^-7,C.
b) V=7,5times10^2,V,
QA=2,5times10^-8,C,
QB=2,5times10^-8,C,
QC=5,0times10^-8,C.
c) Elétrons passaram de B e C para A, com
nBapprox1,56times10^11 elétrons e
nCapprox3,12times10^11 elétrons.

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