Se P(A)=0,4, P(B)=0,5, P(C)=P(A cap B)=0,3, P(A cap C)= 0 e P(B cap C)=0,1, determine:
P(A cup B cup C).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá algumas probabilidades de eventos A, B e C, incluindo as interseções entre eles. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de pelo menos um desses eventos ocorrer, ou seja, $ P(A \cup B \cup C) $. Para resolver isso, vamos usar o Princípio da Inclusão-Exclusão, que ajuda a calcular a probabilidade da união de múltiplos eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Princípio da Inclusão-Exclusão para três eventos:
P(A cup B cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A cap B) - P(A cap C) - P(B cap C) + P(A cap B cap C)
Esse princípio basicamente adiciona as probabilidades individuais, subtrai as interseções duplas e adiciona a interseção tripla para evitar contar de mais.

Passo 3

Vamos listar o que já sabemos:
  • $ P(A) = 0,4 $
  • $ P(B) = 0,5 $
  • $ P© = P(A \cap B) = 0,3 $
  • $ P(A \cap C) = 0 $
  • $ P(B \cap C) = 0,1 $
Falta a probabilidade da interseção dos três eventos, $ P(A \cap B \cap C) $. Vamos descobrir isso.

Passo 4

Sabemos que $ P© = P(A \cap B) = 0,3 $. Além disso, $ P(A \cap C) = 0 $, o que significa que os eventos A e C não ocorrem juntos. Então, a interseção tripla $ P(A \cap B \cap C) $ também será 0, já que se A e C não ocorrem juntos, não podem ocorrer todos os três juntos.
P(C) = P(A cap B) = 0,3

Passo 5

Agora, vamos substituir todos esses valores na fórmula do Princípio da Inclusão-Exclusão:
P(A cup B cup C) = 0,4 + 0,5 + 0,3 - 0,3 - 0 - 0,1 + 0

Passo 6

Vamos fazer as contas passo a passo:
0,4 + 0,5 = 0,9
0,9 + 0,3 = 1,2
1,2 - 0,3 = 0,9
0,9 - 0 = 0,9
0,9 - 0,1 = 0,8
0,8 + 0 = 0,8

Resposta

A probabilidade de pelo menos um dos eventos A, B ou C ocorrer é de 0,8.

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