Em uma roda são colocadas n pessoas. Qual é a probabilidade de duas dessas pessoas ficarem juntas?

Passo 1

Vamos resumir o que está sendo pedido: temos uma roda com n pessoas dispostas ao seu redor. Queremos descobrir qual é a probabilidade de duas dessas pessoas ficarem sentadas juntas. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade e arranjos circulares.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quantas maneiras diferentes as n pessoas podem se sentar na roda. Em arranjos circulares, o número de permutações é dado por (n-1)!. Isso porque, fixando uma pessoa em um lugar, as demais podem ser arranjadas nas posições restantes.

Passo 3

Agora, vamos considerar as duas pessoas que queremos que fiquem juntas. Podemos pensar nelas como uma única entidade. Assim, temos agora (n-1) entidades para arranjar na roda (a dupla e as outras n-2 pessoas). O número de arranjos dessas (n-1) entidades é (n-2)!.

Passo 4

Entretanto, dentro da dupla, as duas pessoas podem trocar de posição entre si. Há 2 maneiras de organizar essas duas pessoas dentro da dupla.

Passo 5

Portanto, o número de arranjos onde as duas pessoas estão juntas é 2 times (n-2)!.

Passo 6

Para encontrar a probabilidade desejada, dividimos o número de arranjos favoráveis pelo número total de arranjos possíveis:
Probabilidade = 2 times (n-2)!(n-1)!

Passo 7

Simplificando a expressão:
2 times (n-2)!(n-1)! = 2n-1

Resposta

A probabilidade de duas pessoas ficarem juntas na roda é 2n-1.

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