Em uma roda são colocadas n pessoas. Qual é a probabilidade de duas dessas pessoas ficarem juntas?
Passo 1
Vamos resumir o que está sendo pedido: temos uma roda com n pessoas dispostas ao seu redor. Queremos descobrir qual é a probabilidade de duas dessas pessoas ficarem sentadas juntas. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade e arranjos circulares.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quantas maneiras diferentes as n pessoas podem se sentar na roda. Em arranjos circulares, o número de permutações é dado por
. Isso porque, fixando uma pessoa em um lugar, as demais podem ser arranjadas nas posições restantes.
Passo 3
Agora, vamos considerar as duas pessoas que queremos que fiquem juntas. Podemos pensar nelas como uma única entidade. Assim, temos agora (n-1) entidades para arranjar na roda (a dupla e as outras n-2 pessoas). O número de arranjos dessas (n-1) entidades é
.
Passo 4
Entretanto, dentro da dupla, as duas pessoas podem trocar de posição entre si. Há 2 maneiras de organizar essas duas pessoas dentro da dupla.
Passo 5
Portanto, o número de arranjos onde as duas pessoas estão juntas é
.
Passo 6
Para encontrar a probabilidade desejada, dividimos o número de arranjos favoráveis pelo número total de arranjos possíveis:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
A probabilidade de duas pessoas ficarem juntas na roda é
.