Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 45 minutos) e distribuiçảo exponencial dos tempos de serviço (média de 30 minutos). Além disso, acabou de chegar um cliente às 08 horas da manhâ. Responda ( 3 , 5 pontos):
c) Qual a probabilidade de que o número de chegadas entre 08:15 e 09:30 horas seja três ou mais?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de fila com dois servidores. As chegadas dos clientes são distribuídas exponencialmente, com um tempo médio de chegada de 45 minutos, e os tempos de serviço também seguem uma distribuição exponencial, com tempo médio de 30 minutos. A questão é: qual a probabilidade de que entre 08:15 e 09:30 horas cheguem três ou mais clientes?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de processos de Poisson, que são ótimos para modelar chegadas aleatórias de eventos ao longo do tempo. Precisamos calcular a probabilidade de que ocorram três ou mais chegadas nesse intervalo de tempo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma distribuição exponencial para os tempos entre chegadas. Em um processo de Poisson, a distribuição exponencial descreve o tempo entre eventos sucessivos (neste caso, chegadas de clientes). A taxa média de chegada, λ (lambda), é o inverso do tempo médio entre chegadas.
Aqui, o tempo médio entre chegadas é de 45 minutos, então:
lambda = 145 chegadas por minuto

Passo 3

Agora, precisamos determinar o período de tempo em que vamos analisar as chegadas. A questão pede entre 08:15 e 09:30, ou seja, um intervalo de 1 hora e 15 minutos, que é igual a 75 minutos.

Passo 4

No processo de Poisson, o número de chegadas em um intervalo de tempo $ t $ segue a distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda t $. Então, para nossos 75 minutos:
t
Isso significa que o número de chegadas $ N $ em 75 minutos segue $ N \sim Poisson\left(\frac{5}{3}\right) $.

Passo 5

Queremos encontrar a probabilidade de que ocorram três ou mais chegadas nesse período, ou seja, $ P(N \geq 3) $. É mais fácil calcular o complementar, ou seja, a probabilidade de terem zero, uma ou duas chegadas, e então subtrair de 1:
P(N >= 3)

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da distribuição de Poisson:
P(N = k) = e^-lambda t (lambda t)^kk!
Onde $ k $ é o número de chegadas.
Para $ \lambda t = \frac{5}{3} $:
  • $ P(N = 0) = \frac{e^{-\frac{5}{3}} \left(\frac{5}{3}\right)^0}{0!} = e^{-\frac{5}{3}} $
  • $ P(N = 1) = \frac{e^{-\frac{5}{3}} \left(\frac{5}{3}\right)^1}{1!} = \frac{5}{3} e^{-\frac{5}{3}} $
  • $ P(N = 2) = \frac{e^{-\frac{5}{3}} \left(\frac{5}{3}\right)^2}{2!} = \frac{25}{18} e^{-\frac{5}{3}} $

Passo 7

Calculando essas probabilidades numericamente:
Primeiro, calculamos $ e^{-\frac{5}{3}} $:
e^-53
Agora:
  • $ P(N = 0) \approx 0,1889 $
  • $ P(N = 1) \approx \frac{5}{3} \times 0,1889 \approx 0,3148 $
  • $ P(N = 2) \approx \frac{25}{18} \times 0,1889 \approx 0,2633 $

Passo 8

Somando essas probabilidades:
P(N < 3) = P(N = 0) + P(N = 1) + P(N = 2) approx 0,1889 + 0,3148 + 0,2633 = 0,7670

Passo 9

Finalmente, a probabilidade de três ou mais chegadas é:
P(N >= 3) = 1 - P(N < 3) = 1 - 0,7670 = 0,2330

Resposta

A probabilidade de que entre 08:15 e 09:30 horas cheguem três ou mais clientes é aproximadamente 23,3%.

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