Na P.A. (
) calcular o décimo quinto termo e o termo geral
.
Passo 1
O enunciado nos dá a progressão com os três primeiros termos:
O que o problema pede:
- calcular o décimo quinto termo
; - encontrar o termo geral
.
Informações dadas: os termos iniciais
,
e
.
Passo 2
O que é uma progressão aritmética (PA) e a fórmula que vamos usar.
- Uma sequência é uma PA quando a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante chama‑se razão, que vamos denotar por
. - Denotando por
o primeiro termo e por o termo de ordem , a sequência em PA satisfaz:
Explicando a fórmula: a cada passo para a frente na sequência somamos mais uma vez
. Assim, para chegar do primeiro termo ao
-ésimo somamos
exatamente
vezes.
Na fórmula acima:
-
é o termo de índice ; -
é o primeiro termo da PA; -
é a razão (diferença constante); -
é um inteiro positivo que indica a posição do termo.
Passo 3
Encontrar a razão
usando os termos dados.
Pegamos os dois primeiros termos (tirados do enunciado):
e
. A razão é
Verificação com o terceiro termo:
. Está consistente: a razão é
.
Passo 4
Determinar o termo geral
substituindo
e
na fórmula da PA.
Começamos da fórmula
Substituindo
e
:
Desenvolvendo a expressão:
Portanto o termo geral é
.
Passo 5
Calcular o décimo quinto termo
usando o termo geral.
Substituímos
em
:
Podemos conferir rapidamente: a sequência começa
e vai somando
cada vez; chegar ao
-ésimo termo dando saltos de
também leva a
.