Na P.A. ( -2,1,4, \ldots ) calcular o décimo quinto termo e o termo geral a_{n}.

Passo 1

O enunciado nos dá a progressão com os três primeiros termos:
-2, 1, 4, \ldots
O que o problema pede:
  • calcular o décimo quinto termo a_{15};
  • encontrar o termo geral a_{n}.
Informações dadas: os termos iniciais -2, 1 e 4.

Passo 2

O que é uma progressão aritmética (PA) e a fórmula que vamos usar.
  • Uma sequência é uma PA quando a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante chama‑se razão, que vamos denotar por d.
  • Denotando por a_{1} o primeiro termo e por a_{n} o termo de ordem n, a sequência em PA satisfaz:
a_{2}=a_{1}+d,\qquad a_{3}=a_{1}+2d,\qquad\text{e, em geral,}\qquad a_{n}=a_{1}+(n-1)d.
Explicando a fórmula: a cada passo para a frente na sequência somamos mais uma vez d. Assim, para chegar do primeiro termo ao n-ésimo somamos d exatamente (n-1) vezes.
Na fórmula acima:
  • a_{n} é o termo de índice n;
  • a_{1} é o primeiro termo da PA;
  • d é a razão (diferença constante);
  • n é um inteiro positivo que indica a posição do termo.

Passo 3

Encontrar a razão d usando os termos dados.
Pegamos os dois primeiros termos (tirados do enunciado): a_{1}=-2 e a_{2}=1. A razão é
d=a_{2}-a_{1}=1-(-2)=1+2=3.
Verificação com o terceiro termo: a_{3}-a_{2}=4-1=3. Está consistente: a razão é d=3.

Passo 4

Determinar o termo geral a_{n} substituindo a_{1} e d na fórmula da PA.
Começamos da fórmula
a_{n}=a_{1}+(n-1)d.
Substituindo a_{1}=-2 e d=3:
a_{n}=-2+(n-1)\cdot 3.
Desenvolvendo a expressão:
a_{n}=-2+3n-3=3n-5.
Portanto o termo geral é a_{n}=3n-5.

Passo 5

Calcular o décimo quinto termo a_{15} usando o termo geral.
Substituímos n=15 em a_{n}=3n-5:
a_{15}=3\cdot 15-5=45-5=40.
Podemos conferir rapidamente: a sequência começa -2,1,4,7,10,\ldots e vai somando 3 cada vez; chegar ao 15-ésimo termo dando saltos de 3 também leva a 40.

Resposta

a_{15}=40
a_{n}=3n-5

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