(2.0 p) Mostre a contimuidade de f(x)=x^2+x usando a definicã com varepsilone de<a.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a função
f(x)=x^2+x
é contínua em cada ponto ainR usando a definição varepsilon- de<a. Vamos então, dado um ponto arbitrário a e um varepsilon>0, encontrar um de<a>0 tal que
|x - a|<de<aLongrightarrow |f(x)-f(a)|<varepsilon

Passo 2

Fixe ainR e varepsilon>0. Começamos calculando a diferença entre f(x) e f(a):
|f(x)-f(a)| = |x^2+x - (a^2+a)| = |(x-a)(x+a+1)| = |x-a|;|x+a+1|

Passo 3

Para controlar o fator |x+a+1|, impomos que de<a<=1. Assim, se |x-a|<de<a<=1 então
|x|<= |a|+|x-a|<|a|+1,
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|x+a+1|<= |x|+|a|+1 < (|a|+1)+|a|+1 = 2|a|+2

Passo 4

Com isso, sempre que |x-a|<de<a temos
|f(x)-f(a)| = |x-a|;|x+a+1| < |x-a|,(2|a|+2)
Para garantir |f(x)-f(a)|<varepsilon, basta escolher de<a que satisfaça
|x-a|,(2|a|+2) < de<a,(2|a|+2) <= varepsilon
Portanto, definimos
de<a = minl(1,;varepsilon2|a|+2r)

Resposta

Com essa escolha de de<a, sempre que |x-a|<de<a temos |f(x)-f(a)|<varepsilon. Como a era arbitrário, concluímos que f(x)=x^2+x é contínua em todo R.

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