( 1, 0 ponto) Considere as seguintes retas r:ly=2 x z=x-3 e s: & x=3+t & y=1-3 t As retas r e s possuem ponto de interseção? Caso & z=tçã afirmativo, determine-o.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço:
r definida por
y=2x, z=x-3,
e s definida por
x=3+t, y=1-3t, z=t
Queremos saber se elas se intersectam e, em caso afirmativo, achar o ponto comum. O conteúdo é geometria analítica 3D e precisamos reescrever r em forma paramétrica e igualar coordenadas para resolver um sistema.

Passo 2

Parametrizando r com um parâmetro
Mantemos s com o parâmetro (t]:

Passo 3

Para que exista interseção, deve haver (u,t) tais que
u = 3 + t, 2u = 1 - 3t, u - 3 = t

Passo 4

Repare que a primeira e a terceira equações são equivalentes. Usando u - 3 = t
u = t + 3
Substituindo em 2u = 1 - 3t,
2(t+3) = 1 - 3t Longrightarrow 2t + 6 = 1 - 3t Longrightarrow 5t = -5 Longrightarrow t = -1,
logo u = t + 3 = 2.

Passo 5

Com u = 2, o ponto em r é
x = 2, y = 2cdot 2 = 4, z = 2 - 3 = -1
Verificando em s com t=-1 obtemos o mesmo ponto, então há interseção.

Resposta

O ponto de interseção é (2,,4,,-1).

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