(1,0 ponto) Dados u=(-2,2,-1), v=(-2,-1,1) e w=(3,-2,0) esboce o tetraedro determinado por estes vetores e determine o seu volume.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores u=(-2,2,-1), v=(-2,-1,1) e w=(3,-2,0) e pede para esboçar o tetraedro com vértices na origem e nesses pontos, além de calcular seu volume. Vamos usar geometria vetorial e o produto misto para achar o volume.

Passo 2

O tetraedro tem vértices em O=(0,0,0), u, v e w. As arestas saem de O para cada uma dessas extremidades e as faces são triângulos definidos pelos pares de vetores u,v, u,w e v,w.

Passo 3

Para calcular o volume V de um tetraedro formado por u, v e w, usamos a fórmula do produto misto:
V = 16l|ucdot(vtimesw)r|
Primeiro calculamos o produto vetorial vtimesw via determinante:
vtimesw = i & j & k -2 & -1 & 1 3 & -2 & 0 =(2,3,7)
Em seguida, o produto misto é
ucdot(vtimesw) =(-2)cdot2 ;+;2cdot3;+;(-1)cdot7 =-4 + 6 - 7 = -5

Passo 4

Tomando o valor absoluto e dividindo por 6, obtemos
V = 16l|-5r| = 56

Resposta

O volume do tetraedro é tfrac56.

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