( 1 , 0 p o n t o ) P a r a c a d a c o n j u n t o W subset V abaixo, verifique se é um subespaço vetorial do espaço vetorial V. No item em que o conjunto for subespaço, determine a sua dimensão.
W=(x, y, z) in R^3 ; y=2 x e z=3 x, V=R^3;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = (x,y,z)inR^3 mid y=2x,;z=3x
é um subespaço de V=R^3 e, em caso afirmativo, determinar dim(W). Vamos usar os critérios de subespaço: conter o vetor zero, fechar sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que W contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar:
  1. O vetor (0,0,0) satisfaz 0=2cdot0 e 0=3cdot0, logo (0,0,0)in W.
  2. Se v1=(x1,2x1,3x1) e v2=(x2,2x2,3x2) estão em W, então
v1+v2=(x1+x2,;2(x1+x2),;3(x1+x2))in W
  1. Para lambdainR e v=(x,2x,3x)in W,
lambda v=(lambda x,;2lambda x,;3lambda x)in W
Portanto W satisfaz os três critérios e é subespaço de R^3.

Passo 3

Note que todo vetor em W é da forma
(x,2x,3x)=x,(1,2,3),
com xinR. Isso mostra que W é o conjunto das combinações escalares de (1,2,3).

Passo 4

Como (1,2,3) gera W e é linearmente independente, temos que é uma base de W. Logo
dim(W)=1

Resposta

W é subespaço vetorial de R^3 e dim(W)=1.

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