( 1,0 ponto) Seja
dada por
uma transformação linear. O operador
é diagonalizável?
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
na base canônica. Queremos saber se
é diagonalizável, ou seja, se existe uma base de
formada por autovetores de
. Para isso precisamos:
- Calcular o polinômio característico de
. - Encontrar seus autovalores e as respectivas multiplicidades algébricas.
- Para cada autovalor, determinar a dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica).
- Verificar se a soma das multiplicidades geométricas é 3.
Passo 2
Escrevemos a matriz de
na base canônica:
O polinômio característico é
Fazendo a expansão por co-fatores (ou usando operações elementares) obtém-se
Passo 3
Do fator
(2-lambda)(lambda+1)^2 vê-se que os autovalores são
Passo 4
Para
lambda=-1 resolvemos
(A+I)v=0 :
A única equação é
x+2y+z=0 , logo
x=-2y-z . Temos dois parâmetros livres (
y e
z ), então
Passo 5
Para
Isso dá o sistema
ou seja . Há um parâmetro livre (
), logo
Passo 6
Somando as dimensões dos espaços próprios temos
2+1=3 , que é a dimensão total de
R^3 . Portanto há três autovetores linearmente independentes.
Resposta
Sim,
T é diagonalizável.