( 1,0 ponto) Seja T: R^3 R^3 dada por
T(x, y, z)=(2 x+6 y+3 z,-3 x-7 y-3 z, 6 x+12 y+5 z)
uma transformação linear. O operador T é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=(2x+6y+3z,,-3x-7y-3z,,6x+12y+5z)
na base canônica. Queremos saber se T é diagonalizável, ou seja, se existe uma base de R^3 formada por autovetores de T. Para isso precisamos:
  1. Calcular o polinômio característico de T.
  2. Encontrar seus autovalores e as respectivas multiplicidades algébricas.
  3. Para cada autovalor, determinar a dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica).
  4. Verificar se a soma das multiplicidades geométricas é 3.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica:
A= 2 & 6 & 3 -3 & -7 & -3 6 & 12 & 5
O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det 2-lambda & 6 & 3 -3 & -7-lambda & -3 6 & 12 & 5-lambda
Fazendo a expansão por co-fatores (ou usando operações elementares) obtém-se
det(A-lambda I) =(2-lambda)l((-7-lambda)(5-lambda)+36r) =(2-lambda),(lambda+1)^2

Passo 3

Do fator (2-lambda)(lambda+1)^2 vê-se que os autovalores são
lambda1=2(mu< alg 1), lambda2=-1(mu< alg 2)

Passo 4

Para lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0:
A+I= 3 & 6 & 3 -3 & -6 & -3 6 &12 & 6 sim 1 & 2 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
A única equação é x+2y+z=0, logo x=-2y-z. Temos dois parâmetros livres ( y e z), então
dimker(A+I)=2

Passo 5

Para
Isso dá o sistema
ou seja . Há um parâmetro livre ( ), logo

Passo 6

Somando as dimensões dos espaços próprios temos 2+1=3, que é a dimensão total de R^3. Portanto há três autovetores linearmente independentes.

Resposta

Sim, T é diagonalizável.

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