Se p é primo, mostre que p e ( p-1 )! são relativamente primos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se p é primo, então
\gcd\bigl(p,\,(p-1)!\bigr)=1.
Para isso, vamos usar o fato de que, se um primo divide um produto, então ele divide pelo menos um dos fatores desse produto.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que p divida (p-1)!. Como
(p-1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p-1),
então p teria que dividir algum fator k com 1 \le k \le p-1. Mas, como k<p, isso é impossível para p primo. Logo concluímos que
p \nmid (p-1)!.

Passo 3

Como p é primo, o único divisores comuns possíveis de p e de (p-1)! são 1 ou p. Mas já vimos que p não divide (p-1)!, então a única possibilidade é
\gcd\bigl(p,\,(p-1)!\bigr)=1.

Resposta

\gcd\bigl(p,\,(p-1)!\bigr)=1.

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