Se
é primo, mostre que
e (
)! são relativamente primos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é primo, então
.
Para isso, vamos usar o fato de que, se um primo divide um produto, então ele divide pelo menos um dos fatores desse produto.
Para isso, vamos usar o fato de que, se um primo divide um produto, então ele divide pelo menos um dos fatores desse produto.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
divida
. Como
então
teria que dividir algum fator
com
. Mas, como
, isso é impossível para
primo. Logo concluímos que
Passo 3
Como
é primo, o único divisores comuns possíveis de
e de
são
ou
. Mas já vimos que
não divide
, então a única possibilidade é