(3,5 p)-Sobre vetores:
c) Calcule o volume do paralelepipedo formado pelos veotres u=(1,0,1), v=(2,1,2) e w=(0,3,3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
;u = (1,0,1),;v = (2,1,2) e ;w = (0,3,3) em R^3.
O conteúdo aqui é geometria vetorial: usamos o produto misto (ou determinante 3times3) para achar esse volume.

Passo 2

Lembre que o volume V de um paralelepípedo formado por três vetores em R^3 é o valor absoluto do produto misto, ou seja
V = l|detl[,u;v;w,r]r|
Podemos colocar u,v,w como colunas de uma matriz M e calcular det M.

Passo 3

Montamos então a matriz M com as colunas sendo os vetores u,v,w:
M = 1 & 2 & 0 0 & 1 & 3 1 & 2 & 3

Passo 4

Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det M = 1cdot(1cdot3 - 3cdot2) ;-;2cdot(0cdot3 - 3cdot1) ;+;0cdot(dots)
det M = 1cdot(3 - 6) ;-;2cdot(0 - 3) ;=;-3 ;-;2cdot(-3) ;=;-3 + 6 ;=;3
Logo, o volume é o valor absoluto desse determinante.

Resposta

O volume do paralelepípedo é 3.

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