Prove que o triângulo cujos vértices são A(2,2), B(-4,-6) e C(4,-12) é retângulo.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com vértices A(2,2), B(-4,-6) e C(4,-12) e pede para mostrar que ele é retângulo. Em geometria analítica, um triângulo é retângulo se e somente se dois de seus lados são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares exatamente quando seu produto escalar é zero.

Passo 2

Vamos calcular os vetores BA e BC. Primeiro,
BA ;=; A - B ;=;(2 - (-4),;2 - (-6)) ;=;(6,,8)
Em seguida,
BC ;=; C - B ;=;(4 - (-4),;-12 - (-6)) ;=;(8,,-6)

Passo 3

Agora, o produto escalar entre BA e BC é
BAcdotBC =6cdot8 ;+;8cdot(-6) =48 - 48 =0
Como o produto escalar é zero, concluímos que
BAperpBC

Passo 4

Sendo BA perpendicular a BC, o ângulo ang<= ABC é reto. Portanto, o triângulo ABC é retângulo em B.

Resposta

O triângulo ABC é retângulo em B.

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