Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido W limitado por:
y=0, z=0, x+y=4 e z=4-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um sólido chamado W, que está limitado pelas superfícies definidas por y = 0 , z = 0 , x + y = 4 e z = 4 - x^2 . Vamos usar uma integral dupla para achar esse volume.
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas que servem para calcular volumes de sólidos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Como estamos usando uma integral dupla, precisamos definir os limites de integração no plano xy .
As equações y = 0 e x + y = 4 vão nos dar os limites para y em função de x . Resolvendo x + y = 4 para y , temos y = 4 - x .
Então, para cada valor de x , y varia de 0 até 4 - x .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para x . Observando a equação x + y = 4 e sabendo que y >= 0 , vemos que x varia de 0 até 4.
Então, x vai de 0 a 4.

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla para o volume. A fórmula geral para o volume usando integrais duplas é:
V = integrala^b integralc(x)^d(x) f(x, y) , dy , dx
Aqui, f(x, y) representa a altura do sólido acima do ponto (x, y) . No nosso caso, a altura é dada por z = 4 - x^2 .

Passo 5

Substituindo os valores que encontramos, a integral para o volume fica:
V = integral0^4 integral0^4 - x (4 - x^2) , dy , dx
Isso porque para cada x entre 0 e 4, y vai de 0 a 4 - x , e a altura z é 4 - x^2 .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y :
integral0^4 - x (4 - x^2) , dy = (4 - x^2) cdot y g|0^4 - x = (4 - x^2)(4 - x) - (4 - x^2)(0) = (4 - x^2)(4 - x)

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
V = integral0^4 (4 - x^2)(4 - x) , dx
Vamos multiplicar os termos para simplificar a integral:
(4 - x^2)(4 - x) = 16 - 4x - 4x^2 + x^3
Então, a integral fica:
V = integral0^4 (16 - 4x - 4x^2 + x^3) , dx

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^4 16 , dx = 16x g|0^4 = 16 cdot 4 - 16 cdot 0 = 64
integral0^4 (-4x) , dx = -4 cdot x^22 g|0^4 = -2x^2 g|0^4 = -2(16) + 0 = -32
integral0^4 (-4x^2) , dx = -4 cdot x^33 g|0^4 = -43x^3 g|0^4 = -43(64) + 0 = -2563
integral0^4 x^3 , dx = x^44 g|0^4 = 2564 - 0 = 64

Passo 9

Agora, somamos todos os resultados:
V = 64 - 32 - 2563 + 64 = (64 + 64) - 32 - 2563 = 128 - 32 - 2563 = 96 - 2563
Convertendo 96 para ter o mesmo denominador:
96 = 2883
Então:
V = 2883 - 2563 = 323

Resposta

O volume do sólido W é 323 unidades cúbicas.

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