Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido W limitado por: e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um sólido chamado W, que está limitado pelas superfícies definidas por , , e . Vamos usar uma integral dupla para achar esse volume.
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas que servem para calcular volumes de sólidos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Como estamos usando uma integral dupla, precisamos definir os limites de integração no plano .
As equações e vão nos dar os limites para em função de . Resolvendo para , temos .
Então, para cada valor de , varia de 0 até .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para . Observando a equação e sabendo que , vemos que varia de 0 até 4.
Então, vai de 0 a 4.
Passo 4
Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla para o volume. A fórmula geral para o volume usando integrais duplas é:
Aqui, representa a altura do sólido acima do ponto . No nosso caso, a altura é dada por .
Passo 5
Substituindo os valores que encontramos, a integral para o volume fica:
Isso porque para cada entre 0 e 4, vai de 0 a , e a altura é .
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
V = integral0^4 (4 - x^2)(4 - x) , dx
Vamos multiplicar os termos para simplificar a integral: