P1 - GA - Turma BCC - 30/04/2024
Escreva de maneira legível e organizando bem as ideias. Nas questões abaixo assuma que beta=i, j, k é uma base ortonormal positiva.
Considere os vetores f1=k, f2=i+2 j e f3=3 i+j.
(a) O conjunto f1, f2, f3 é base? Se sim, positiva ou negativa? Justifique.
(b) Determine o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores f1, f2 e f3.

Passo 1

Vamos resolver duas questões envolvendo vetores no espaço tridimensional. Primeiro, vamos verificar se o conjunto de três vetores é uma base para o espaço, ou seja, se eles são lineares e independentes. Em seguida, determinaremos se essa base é positiva ou negativa. Na segunda parte, vamos calcular o volume do paralelepípedo formado por esses vetores. Para isso, precisaremos entender conceitos como base vetorial, independência linear e determinante de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores f1 = k, f2 = i + 2j e f3 = 3i + j formam uma base. Para isso, precisamos verificar se eles são linearmente independentes, o que significa que nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.

Passo 3

Uma maneira prática de verificar a independência linear é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Montamos a matriz A onde cada coluna é um dos vetores:
A = 0 & 1 & 3 0 & 2 & 1 1 & 0 & 0
Aqui, os vetores estão dispostos em coordenadas i, j, k.

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz:
det(A) = 0 cdot (2 cdot 0 - 1 cdot 1) - 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) + 3 cdot (0 cdot 1 - 2 cdot 1)
Simplificando:
det(A) = 0 cdot (-1) - 1 cdot (-1) + 3 cdot (-2) = 0 + 1 - 6 = -5

Passo 5

Como o determinante é diferente de zero ( det(A) = -5 neq 0), os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para o espaço tridimensional.

Passo 6

Além disso, o sinal do determinante nos diz se a base é positiva ou negativa. Se o determinante for positivo, a base é dita ser positiva; se for negativo, é negativa. No nosso caso, det(A) = -5, que é negativo. Portanto, a base é negativa.

Passo 7

Agora, vamos calcular o volume do paralelepípedo formado por esses vetores. O volume é dado pelo valor absoluto do determinante da matriz formada pelos vetores. Já calculamos det(A) = -5, então:
Volume = |det(A)| = |-5| = 5

Resposta

(a) Sim, o conjunto é uma base negativa.
(b) O volume do paralelepípedo é 5 unidades cúbicas.

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