P1 Ondas - 22/11/2024 - GMEC
Dirceu
Nome:
  1. (1.5) Considere dois osciladores livres, de mesma amplitude A e de mesma frequência angular omega. Suas equações horárias são dadas por
    x1=A cos (omega t) e x2=A cos (omega t+pi / 3).
    Determine o tempo t, na menor das hipóteses, no qual ambos os osciladores se encontram na mesma posição (resposta em função de omega ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois osciladores que vibram com a mesma amplitude x1 = A cos(omega t) e a mesma frequência angular x2 = A cos(omega t + pi3) . As equações que descrevem a posição deles no tempo são:
Nosso objetivo aqui é encontrar o menor tempo em que os dois osciladores estão na mesma posição.

Passo 2

Primeiro, queremos saber quando as posições A cos(omega t) = A cos(omega t + pi3) e cos(omega t) = cos(omega t + pi3) são iguais. Então, igualamos as duas equações:
Como a amplitude é a mesma e não é zero, podemos dividir ambos os lados por :

Passo 3

Sabemos que 0 = pi3 + 2pi n quando:
  1. omega t = -omega t - pi3 + 2pi n
  2. 2omega t = -pi3 + 2pi n
    onde t = -pi3 + 2pi n2omega é um número inteiro.
Aplicando isso à nossa equação:
  1. Isso não tem solução para , já que é inteiro.

Passo 4

Queremos o menor tempo positivo t = -pi32omega = -pi6omega . Vamos testar valores de t = -pi3 + 2pi2omega = 5pi32omega = 5pi6omega :
  • Para :
    Tempo negativo, não serve.
  • Para :
    Esse é um tempo positivo e o menor possível.

Resposta

O menor tempo t = 5pi6,omega no qual ambos os osciladores se encontram na mesma posição é:

Exercícios relacionados