P1 Ondas - 22/11/2024 - GMEC
Dirceu
Nome:
4) (1.5) A equação da onda em uma dimensão é dada por
Dirceu
Nome:
4) (1.5) A equação da onda em uma dimensão é dada por
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a equação da onda em uma dimensão que é dada por:
Aqui,
representa o deslocamento da onda em função do espaço
e do tempo
, e
é uma constante relacionada às propriedades do meio onde a onda está se propagando. Nosso objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar uma expressão para
que satisfaça essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa equação significa. Ela é uma equação diferencial parcial que descreve como a onda se comporta no espaço e no tempo. Para resolver, precisamos encontrar funções
que, quando inseridas na equação, a tornam verdadeira.
Passo 3
Uma técnica comum para resolver equações de onda é propor a solução como a soma de duas funções, cada uma dependendo apenas de
e
, mas de forma combinada. Ou seja, podemos tentar uma solução do tipo:
Aqui,
e
são funções arbitrárias que representam ondas se movendo para a direita e para a esquerda, respectivamente, e
é a velocidade da onda.
Passo 4
Vamos substituir essa forma de
na equação da onda para encontrar uma relação entre
e
. Primeiramente, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Para que essa equação seja verdadeira para todas as
e
, o coeficiente de
e
deve ser zero:
Resolvendo para
:
Passo 7
Então, a velocidade da onda é
. Substituindo de volta na solução geral, temos:
Resposta
A solução geral da equação da onda é:
Onde
e
são funções arbitrárias que representam ondas se movendo para a direita e para a esquerda com velocidade
.