P1 Ondas - 22/11/2024 - GMEC
Dirceu
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4) (1.5) A equação da onda em uma dimensão é dada por
partial^2 upartial x^2-k partial^2 upartial t^2=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a equação da onda em uma dimensão que é dada por:
partial^2 upartial x^2 - k partial^2 upartial t^2 = 0
Aqui, representa o deslocamento da onda em função do espaço e do tempo , e é uma constante relacionada às propriedades do meio onde a onda está se propagando. Nosso objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar uma expressão para que satisfaça essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa equação significa. Ela é uma equação diferencial parcial que descreve como a onda se comporta no espaço e no tempo. Para resolver, precisamos encontrar funções que, quando inseridas na equação, a tornam verdadeira.

Passo 3

Uma técnica comum para resolver equações de onda é propor a solução como a soma de duas funções, cada uma dependendo apenas de u(x, t) = f(x - vt) + g(x + vt) e , mas de forma combinada. Ou seja, podemos tentar uma solução do tipo:
Aqui, e são funções arbitrárias que representam ondas se movendo para a direita e para a esquerda, respectivamente, e é a velocidade da onda.

Passo 4

Vamos substituir essa forma de partial^2 upartial x^2 = f''(x - vt) + g''(x + vt) na equação da onda para encontrar uma relação entre partial^2 upartial t^2 = v^2 f''(x - vt) + v^2 g''(x + vt) e . Primeiramente, calculamos as derivadas parciais necessárias:

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na equação original:
f''(x - vt) + g''(x + vt) - k ( v^2 f''(x - vt) + v^2 g''(x + vt) ) = 0
Simplificando:
(1 - k v^2) f''(x - vt) + (1 - k v^2) g''(x + vt) = 0

Passo 6

Para que essa equação seja verdadeira para todas as 1 - k v^2 = 0 e v^2 = 1k Rightarrow v = pm 1raizk , o coeficiente de e deve ser zero:
Resolvendo para :

Passo 7

Então, a velocidade da onda é u(x, t) = f(x - traizk) + g(x + traizk) . Substituindo de volta na solução geral, temos:

Resposta

A solução geral da equação da onda é:
u(x, t) = f(x - traizk) + g(x + traizk)
Onde e são funções arbitrárias que representam ondas se movendo para a direita e para a esquerda com velocidade .

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