Em P3 expresse o polinômio 4 x^2-x+5 em termos da base polinomial 1,1-x,(1-x)^2,(1-x)^3.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio 4x^2 - x + 5 em P3 na base
,1,;1-x,;(1-x)^2,;(1-x)^3.
Conteúdo envolvido: mudança de base em espaço de polinômios.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c,d tais que
4x^2 - x + 5 ;=; acdot 1 ;+; bcdot(1-x);+;ccdot(1-x)^2;+;dcdot(1-x)^3

Passo 3

Expandimos cada potência de (1-x) na base padrão:
(1-x)^2 = 1 - 2x + x^2, (1-x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3
Logo o lado direito vira
a + b(1-x) + c(1-2x+x^2) + d(1-3x+3x^2 - x^3),
que reorganizado em termos de 1, x, x^2, x^3 fica
(a+b+c+d) +(-b-2c-3d),x +(c+3d),x^2 +(-d),x^3

Passo 4

Comparando com
Da última equação vem .
Em temos logo .
Finalmente , ou seja .

Passo 5

Portanto os coeficientes na base dada são
a=8, b=-7, c=4, d=0,
e
4x^2 - x + 5 = 8cdot1 ;-;7cdot(1-x);+;4cdot(1-x)^2;+;0cdot(1-x)^3

Resposta

4x^2 - x + 5 = 8cdot1 ;-;7cdot(1-x);+;4cdot(1-x)^2;+;0cdot(1-x)^3

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