Os padrões de produção de uma bebida engarrafada estabelecem um mínimo de 13% de álcool. 20 garrafas foram coletadas aleatoriamente e apresentaram os teores alcoólicos listados na tabela a seguir. Pode-se afirmar que a bebida atende aos padrões ao nível de significância de 5%? Construa o intervalo de confiança.
16,1 14,6 17,6 16,7 15,8 15,4 14,1 13,6 11,9 11,4
11,4 13,1 12,4 15,4 15,4 12,8 14,9 12,7 11,9 11,4

Passo 1

Resumindo o enunciado: coletaram-se n=20 garrafas e mediu-se o teor alcoólico em cada uma. O padrão exige um mínimo de 13\% de álcool. A tarefa é (1) testar, ao nível de significância de 5\%, se a média verdadeira \mu atende ao mínimo de 13\% e (2) construir um intervalo de confiança de 95\% para \mu.

Passo 2

Calcular a média amostral e o desvio-padrão amostral. Dos dados obtiveram-se
\sum_{i=1}^{20} x_i = 278{,}6,
\sum_{i=1}^{20} x_i^2 = 3951{,}52.
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\bar x = \frac{278{,}6}{20} = 13{,}93,
s^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\,\bar x^2}{n-1} = \frac{3951{,}52 - 20\cdot(13{,}93)^2}{19} \approx 3{,}715,
s = \sqrt{3{,}715}\approx 1{,}928.

Passo 3

Formular o teste de hipóteses (teste unilateral à direita):
H_0:\mu \le 13\%, \quad H_1:\mu > 13\%.
Usaremos o teste t de Student com n-1=19 graus de liberdade.

Passo 4

Calcular a estatística de teste e comparar com o valor crítico:
t = \frac{\bar x - 13}{s/\sqrt{n}} = \frac{13{,}93 - 13}{1{,}928/\sqrt{20}} \approx 2{,}158.
O valor crítico para \alpha=0{,}05 e 19 g.l. em teste unilateral à direita é
t_{0{,}95,19}\approx 1{,}729.
Como 2{,}158 > 1{,}729, rejeitamos H_0 e concluímos que \mu>13\%.

Passo 5

Construir o intervalo de confiança bilateral de 95\% para \mu:
\bar x \pm t_{0{,}975,19}\,\frac{s}{\sqrt{n}} = 13{,}93 \pm 2{,}093\;\frac{1{,}928}{\sqrt{20}} \approx (13{,}03\%,\,14{,}83\%).

Resposta

Sim. Ao nível de 5\%, há evidência de que a média de teor alcoólico excede 13\%.
O intervalo de confiança de 95\% para \mu é aproximadamente (13{,}03\%,\,14{,}83\%).

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