Pneus de uma determinada marca foram colocados aleatoriamente nas rodas de 10 carros com seguintes resultados: Percurso médio amostral até a necessidade de troca: 45.300 km. Desvio padrão amostral: 6.150 km. Construa um intervalo de confiança de 99% para a vida média dos pneus dessa marca

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=10 com percurso médio amostral até a troca \bar x=45\,300 km e desvio padrão amostral s=6\,150 km. Pede um intervalo de confiança de 99\% para a vida média \mu dos pneus. Para resolver usamos estatística inferencial de média com amostra pequena e variância desconhecida.

Passo 2

Como n é pequeno e a variância populacional é desconhecida, usamos a distribuição t de Student com n-1=9 graus de liberdade. O intervalo de confiança de nível 1-\alpha=0,99 fica
\bar x \pm t_{\,n-1,\,1-\frac\alpha2}\,\frac{s}{\sqrt n}.

Passo 3

O valor crítico é o quantil t_{9,\,0{,}995}, pois \alpha=0{,}01 e \alpha/2=0{,}005. Da tabela,
t_{9,\,0{,}995}\approx3{,}2498.

Passo 4

Calculamos o erro padrão da média amostral:
\text{EP} = \frac{s}{\sqrt n} = \frac{6\,150}{\sqrt{10}}\approx1\,945{,}48\text{ km}.
A margem de erro é
E = t_{9,\,0{,}995}\times \text{EP} \approx3{,}2498\times1\,945{,}48\approx6\,321{,}4\text{ km}.

Passo 5

O intervalo de confiança de 99\% para \mu fica
\bigl[\bar x - E,\;\bar x + E\bigr] = [45\,300 - 6\,321{,}4,\;45\,300 + 6\,321{,}4] \approx[38\,978{,}6,\;51\,621{,}4]\text{ km}.

Resposta

O intervalo de confiança de 99\% para a vida média dos pneus é aproximadamente
[38\,979\text{ km},\;51\,621\text{ km}].

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