Pág. 61-Exercícios. 11-24: Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe.
lim z -2 z-4z^2-2 z-8

Passo 1

Estamos calculando o limite de uma função racional quando a variável se aproxima de um ponto que anula o denominador. O conteúdo aqui é limite de funções racionais e vamos usar fatoração e simplificação algébrica.

Passo 2

Observe o denominador e faça a fatoração de um trinômio do 2º grau. Temos
z^2 - 2z - 8 = (z - 4)(z + 2)

Passo 3

Reescreva a expressão original usando essa fatoração:
z - 4z^2 - 2z - 8 = z - 4(z - 4)(z + 2)

Passo 4

Simplifique o fator comum (z - 4), lembrando que isso vale para todo z neq 4. A expressão reduz-se a
1z + 2

Passo 5

Agora, avaliamos o comportamento dessa expressão quando z to -2. O denominador z + 2 tende a zero. Isso indica que a fração cresce sem limite em magnitude.
Além disso, ao aproximar z de -2 pela direita, z + 2 é um número positivo muito pequeno e a expressão vai a +infty. Pela esquerda, z + 2 é negativo e vai a -infty. Portanto, o limite não é um número finito nem um único infinito.

Passo 6

Concluímos que o limite não existe de forma finita nem como infinito único, pois há comportamentos distintos nos dois lados de -2.

Resposta

O limite não existe (diverge para +∞ pela direita e −∞ pela esquerda).

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