Use o método do Problema 32 para encontrar uma segunda solução independente da equação dada.
34.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma segunda solução independente da EDO linear de segunda ordem
t,y''-y'+4t^3y=0, sabendo que y1(t)=sin(t^2). Vamos usar redução de ordem, que é o método do Problema 32.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão:
Dividindo por t (já que t>0) obtemos
y''-1t,y'+4t^2y=0.
Aqui p(t)=-1/t e q(t)=4t^2.

Passo 3

Na redução de ordem, buscamos y2=y1,v, onde
v(t)=integrale^-integral p(t),dty1(t)^2,dt.
Esse v gera uma solução independente de y1.

Passo 4

Calculamos o fator
e^-integral p(t),dt=e^-integral(-1/t),dt=e^ln t=t.
Então
v(t)=integraltsin^2(t^2),dt.

Passo 5

Para avaliar integral t/sin^2(t^2),dt, fazemos u=t^2, logo du=2t,dt ou t,dt=du/2. Assim
v(t)=integraltsin^2(t^2),dt=12integraldusin^2u=12integralcsc^2u,du=-tfrac12cot u+C
Voltando a t, v(t)=-tfrac12cot(t^2) (podemos tomar C=0).

Passo 6

Portanto
y2(t)=y1(t),v(t)=sin(t^2)l(-tfrac12cot(t^2)r)=-tfrac12cos(t^2).
Como qualquer múltiplo escalar serve, a segunda solução independente é
y2(t)=cos(t^2).

Resposta

cos(t^2)

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