Suponha que o peso
, em kg , dos alunos de uma determinada universidade distribuise normalmente com média
e variância
. Suponha também que
e
. Escolhe-se 5 alunos dessa universidade ao acaso. Qual é a probabilidade de que no máximo dois deles pesem mais 100 kg .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o peso $ X $ dos alunos distribuído normalmente com média $ \mu $ e variância $ \sigma^{2} $. Sabemos que $ P(X < 80) = \frac{1}{2} $ e $ P(X < 60) = \frac{1}{4} $. Queremos descobrir a probabilidade de, ao escolher 5 alunos aleatoriamente, no máximo dois pesarem mais de 100 kg.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Entender as propriedades da distribuição normal.
- Encontrar os valores de $ \mu $ e $ \sigma $ usando as probabilidades fornecidas.
- Calcular a probabilidade de um aluno pesar mais de 100 kg.
- Usar a distribuição binomial para achar a probabilidade de no máximo dois alunos pesarem mais de 100 kg.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a média $ \mu $. Sabemos que $ P(X < 80) = \frac{1}{2} $. Na distribuição normal, a média é o ponto onde a probabilidade de estar abaixo é exatamente 50%, ou seja, $ \mu = 80 $ kg.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o desvio padrão $ \sigma $. Sabemos que $ P(X < 60) = \frac{1}{4} $. Vamos usar a padronização:
Substituindo os valores:
Isso nos dá:
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, sabemos que $ P(Z < -0.674) \approx 0.25 $. Então:
Passo 4
Com $ \mu = 80 $ kg e $ \sigma \approx 29.68 $ kg, vamos calcular a probabilidade de um aluno pesar mais de 100 kg. Usamos novamente a padronização:
Então,
Ou seja, cada aluno tem 25% de chance de pesar mais de 100 kg.
Passo 5
Agora, queremos a probabilidade de, em um grupo de 5 alunos, no máximo dois pesarem mais de 100 kg. Isso se enquadra na distribuição binomial, onde:
- Número de tentativas $ n = 5 $
- Probabilidade de sucesso $ p = 0.25 $ (pesar mais de 100 kg)
- Queremos $ P(X \leq 2) $
A fórmula da probabilidade binomial é:
Vamos calcular para $ k = 0, 1, 2 $:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
Somando essas probabilidades:
Resposta
A probabilidade de que no máximo dois dos cinco alunos pesem mais de 100 kg é aproximadamente 89,6%.