Suponha que o peso X, em kg , dos alunos de uma determinada universidade distribuise normalmente com média mu e variância sigma^2. Suponha também que P(X<80)=1 / 2 e P(X<60)=1 / 4. Escolhe-se 5 alunos dessa universidade ao acaso. Qual é a probabilidade de que no máximo dois deles pesem mais 100 kg .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o peso $ X $ dos alunos distribuído normalmente com média $ \mu $ e variância $ \sigma^{2} $. Sabemos que $ P(X < 80) = \frac{1}{2} $ e $ P(X < 60) = \frac{1}{4} $. Queremos descobrir a probabilidade de, ao escolher 5 alunos aleatoriamente, no máximo dois pesarem mais de 100 kg.
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Entender as propriedades da distribuição normal.
  2. Encontrar os valores de $ \mu $ e $ \sigma $ usando as probabilidades fornecidas.
  3. Calcular a probabilidade de um aluno pesar mais de 100 kg.
  4. Usar a distribuição binomial para achar a probabilidade de no máximo dois alunos pesarem mais de 100 kg.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a média $ \mu $. Sabemos que $ P(X < 80) = \frac{1}{2} $. Na distribuição normal, a média é o ponto onde a probabilidade de estar abaixo é exatamente 50%, ou seja, $ \mu = 80 $ kg.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o desvio padrão $ \sigma $. Sabemos que $ P(X < 60) = \frac{1}{4} $. Vamos usar a padronização:
sigma
Substituindo os valores:
P(X < 60) = 14
Isso nos dá:
Z = X - musigma
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, sabemos que $ P(Z < -0.674) \approx 0.25 $. Então:
P( Z < 60 - 80sigma ) = 14

Passo 4

Com $ \mu = 80 $ kg e $ \sigma \approx 29.68 $ kg, vamos calcular a probabilidade de um aluno pesar mais de 100 kg. Usamos novamente a padronização:
mu = 80
Então,
sigma approx 29.68
Ou seja, cada aluno tem 25% de chance de pesar mais de 100 kg.

Passo 5

Agora, queremos a probabilidade de, em um grupo de 5 alunos, no máximo dois pesarem mais de 100 kg. Isso se enquadra na distribuição binomial, onde:
  • Número de tentativas $ n = 5 $
  • Probabilidade de sucesso $ p = 0.25 $ (pesar mais de 100 kg)
  • Queremos $ P(X \leq 2) $
A fórmula da probabilidade binomial é:
n = 5
Vamos calcular para $ k = 0, 1, 2 $:
  • Para $ k = 0 $:
p = 0.25
  • Para $ k = 1 $:
P(X <= 2)
  • Para $ k = 2 $:
P(k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Somando essas probabilidades:
k = 0, 1, 2

Resposta

A probabilidade de que no máximo dois dos cinco alunos pesem mais de 100 kg é aproximadamente 89,6%.

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