Qual é o papel do operador Hamiltoniano na equação de Schrödinger?
Passo 1
Beleza, a questão é: “Qual é o papel do operador Hamiltoniano na equação de Schrödinger?” Isso faz parte de Mecânica Quântica e a gente vai usar a própria forma da equação de Schrödinger e o conceito de operador em QM. Para resolver, a gente precisa:
Saber o que é a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Entender o que é um operador (no caso, o Hamiltoniano) e como ele age sobre a função de onda.
Passo 2
Primeiro, escreve a equação de Schrödinger dependente do tempo:
Aqui, é a função de onda (conta tudo sobre o sistema) e é a “parte de tempo”. O aparece como o operador que multiplica .
Passo 3
O que é ? Em QM, operadores são regras que transformam funções de onda em outras funções. O Hamiltoniano representa a energia total (cinética + potencial). Geralmente:
Quando você aplica em , ele “mede” a energia daquela configuração.
Passo 4
Por que ele aparece na Schrödinger? Porque, de forma análoga à mecânica clássica, onde a energia total gera o movimento via as equações de Hamilton, na QM o gera a evolução temporal da onda. Ou seja, a gente diz que é o gerador de tempo.
Passo 5
Além disso, as soluções estacionárias vêm do problema de autovalores:
widehat H,phin(x) = En,phin(x);
Aí são as energias quantizadas e as “modos” de energia.
Resposta
O operador Hamiltoniano na equação de Schrödinger é o operador de energia total do sistema (cinética + potencial) e atua como gerador da evolução temporal da função de onda, cujos autovalores representam os níveis de energia permitidos.