Qual é o papel do operador Hamiltoniano (widehatH) na equação de Schrödinger?

Passo 1

Beleza, a questão é: “Qual é o papel do operador Hamiltoniano na equação de Schrödinger?” Isso faz parte de Mecânica Quântica e a gente vai usar a própria forma da equação de Schrödinger e o conceito de operador em QM. Para resolver, a gente precisa:
  • Saber o que é a equação de Schrödinger dependente do tempo.
  • Entender o que é um operador (no caso, o Hamiltoniano) e como ele age sobre a função de onda.

Passo 2

Primeiro, escreve a equação de Schrödinger dependente do tempo:
i,hbar,partialpartial t,Psi(x,t) ;=; widehat H,Psi(x,t);
Aqui, é a função de onda (conta tudo sobre o sistema) e é a “parte de tempo”. O aparece como o operador que multiplica .

Passo 3

O que é widehat H ;=; underbrace-hbar^22m,partial^2partial x^2energia cinética ;+; underbraceV(x)energia potencial; ? Em QM, operadores são regras que transformam funções de onda em outras funções. O Hamiltoniano representa a energia total (cinética + potencial). Geralmente:
é
Quando você aplica em , ele “mede” a energia daquela configuração.

Passo 4

Por que ele aparece na Schrödinger? Porque, de forma análoga à mecânica clássica, onde a energia total gera o movimento via as equações de Hamilton, na QM o gera a evolução temporal da onda. Ou seja, a gente diz que é o gerador de tempo.

Passo 5

Além disso, as soluções estacionárias vêm do problema de autovalores:
widehat H,phin(x) = En,phin(x);
são as energias quantizadas e as “modos” de energia.

Resposta

O operador Hamiltoniano na equação de Schrödinger é o operador de energia total do sistema (cinética + potencial) e atua como gerador da evolução temporal da função de onda, cujos autovalores representam os níveis de energia permitidos.

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