Suponha que
. Mostre que
. Veja que, partindo da definição, o primeiro termo que aparece na soma é zero, coloque
em evidência nos termos que sobram e conclua. De forma similar, mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá que
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Ou seja, a função massa de probabilidade é
As perguntas são duas: mostrar que
e mostrar que
Informações relevantes dadas: a expressão do
e que a soma em
começa em
. O enunciado já sugere observar que o primeiro termo (quando
) da soma em
é zero e colocar
em evidência nos termos restantes — é isso que faremos.
Passo 2
Definição de esperança (média): por definição
Substituindo a massa de probabilidade de Poisson,
Observe que o termo com
é zero (pois tem fator
), então podemos começar a soma em
:
Agora use a identidade
. Aplicando isso,
Coloco
em evidência escrevendo
:
Faço a mudança de índice
. Quando
temos
, e quando
temos
. Assim,
A soma acima é a série exponencial, ou seja
. Portanto
Pronto: mostramos que
.
Passo 3
Definição de variância:
. Vou calcular
usando a observação útil
logo
Já sabemos que
, então basta calcular
.
Passo 4
Calcule
a partir da definição:
Os termos com
e
são zero (porque há o fator
), então a soma pode começar em
:
Use a identidade
. Assim
Coloco
em evidência:
. Então
Faço a mudança de índice
. Quando
temos
. Assim
Novamente a soma é
, então
Passo 5
Agora voltamos para
. Usando
e os resultados obtidos,
Logo a variância é
Interpretação rápida e amiga: a média e a variância da Poisson coincidem — isso é uma propriedade bem conhecida e agora você viu a demonstração passo a passo.