Uma parábola passa pelos pontos (0,1),(1,0) e (3,0)
Determine os elementos e faça o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede uma parábola que passa pelos pontos (0,1), (1,0) e (3,0). Vamos encontrar a sua equação na forma geral y=ax^2+bx+c, depois determinar vértice, eixo de simetria, forma canônica, foco e diretriz, e por fim esboçar o gráfico.

Passo 2

Assumindo
y = ax^2 + bx + c,
aplicamos as condições dadas:
y(0)=c=1, y(1)=a+b+c=0, y(3)=9a+3b+c=0

Passo 3

Da primeira equação vem c=1. Substituindo em
a + b + 1 = 0Longrightarrow a + b = -1,
9a + 3b + 1 = 0Longrightarrow 9a + 3b = -1Longrightarrow 3a + b = -tfrac13
Subtraindo as duas últimas:
(3a+b)-(a+b)= -tfrac13-(-1);Longrightarrow;2a=tfrac23;Longrightarrow;a=tfrac13,
e então
b = -1 - a = -1 - tfrac13 = -tfrac43

Passo 4

A equação geral fica
y = tfrac13x^2 - tfrac43x + 1
O vértice (h,k) de uma parábola ax^2+bx+c vem de
h = -b2a = --tfrac432cdottfrac13 = 2,
k = y(h) = y(2) = tfrac13cdot4 - tfrac43cdot2 +1 = -tfrac13
Logo o vértice é V(2,-tfrac13) e o eixo de simetria é x=2.

Passo 5

Para achar a forma canônica, escrevemos
y - l(-tfrac13r) = tfrac13(x-2)^2,
ou seja
y + tfrac13 = tfrac13(x-2)^2

Passo 6

Comparando com (x-h)^2 = 4p(y-k), temos
(x-2)^2 = 3,(y+tfrac13)Longrightarrow 4p = 3Longrightarrow p = tfrac34
Como p>0, a parábola abre para cima.
O foco é
Fl(h,;k+pr) = l(2,;-tfrac13 + tfrac34r) = l(2,;tfrac512r),
e a diretriz é a reta
y = k - p = -tfrac13 - tfrac34 = -tfrac1312

Passo 7

Esboço do gráfico:
– Ponto inicial em (0,1).
– Zeros em (1,0) e (3,0).
– Vértice em V(2,-tfrac13).
– Eixo de simetria vertical x=2.
– Foco em F(2,tfrac512) acima do vértice.
– Diretriz horizontal y=-tfrac1312 abaixo do vértice.
A parábola abre para cima, passando pelos pontos dados e com o formato determinado por essas características.

Resposta

Equação geral:
y = tfrac13x^2 - tfrac43x + 1
Vértice: V(2,-tfrac13).
Eixo de simetria: x=2.
Forma canônica:
y + tfrac13 = tfrac13(x-2)^2
Foco: F(2,tfrac512).
Diretriz: y=-tfrac1312.

Exercícios relacionados