Suponha que
é LI. Dado um vetor
, mostre que
é LD se, e somente se,
é gerado por
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um par de vetores linearmente independentes e pede para mostrar a equivalência:
O conteúdo principal aqui é a definição de dependência linear e a relação com a geração de vetores.
Passo 2
Suponha primeiro que
seja linearmente dependente. Pela definição, existem escalares
, nem todos zero, tais que
Como
é linearmente independente, a única forma de
é
. Portanto, na combinação acima não podemos ter
(caso contrário
e todos seriam zero, contradição com a dependência). Logo
.
Passo 3
Como
, podemos isolar
:
Isto mostra que
é combinação linear de
e
, ou seja,
.
Passo 4
Agora suponha que
. Então existem escalares
tais que
Reescrevendo,
com pelo menos um dos coeficientes não nulo (o de
é
). Isso é exatamente uma relação de dependência linear não trivial em
. Logo o trio é linearmente dependente.
Resposta
Mostramos que
é linearmente dependente se, e somente se,
.