Suponha que (u, v) é LI. Dado um vetor w, mostre que (u, v, w) é LD se, e somente se, w é gerado por (u, v).

Passo 1

O enunciado diz que (vec u,vec v) é um par de vetores linearmente independentes e pede para mostrar a equivalência:
(vec u,vec v,vec w) é linearmente dependente Long<=ftrightarrow vec winSpan(vec u,vec v) é
O conteúdo principal aqui é a definição de dependência linear e a relação com a geração de vetores.

Passo 2

Suponha primeiro que (vec u,vec v,vec w) seja linearmente dependente. Pela definição, existem escalares a,b,c, nem todos zero, tais que
a,vec u ;+; b,vec v ;+; c,vec w ;=; vec 0
Como (vec u,vec v) é linearmente independente, a única forma de a,vec u + b,vec v = vec 0 é a=b=0. Portanto, na combinação acima não podemos ter c=0 (caso contrário a=b=0 e todos seriam zero, contradição com a dependência). Logo cneq0.

Passo 3

Como cneq0, podemos isolar vec w:
c,vec w = -,a,vec u ;-; b,vec v Longrightarrow vec w = -ac,vec u ;-;bc,vec v
Isto mostra que vec w é combinação linear de vec u e vec v, ou seja, vec winSpan(vec u,vec v).

Passo 4

Agora suponha que vec winSpan(vec u,vec v). Então existem escalares alpha,beta tais que
vec w = alpha,vec u + beta,vec v
Reescrevendo,
(-alpha),vec u ;+;(-beta),vec v ;+;1cdotvec w = vec 0,
com pelo menos um dos coeficientes não nulo (o de vec w é 1). Isso é exatamente uma relação de dependência linear não trivial em (vec u,vec v,vec w). Logo o trio é linearmente dependente.

Resposta

Mostramos que (vec u,vec v,vec w) é linearmente dependente se, e somente se, vec winSpan(vec u,vec v).

Exercícios relacionados