Seja r : llx+y-z & =1 x-y+z & =2. Obter distância de r até P=(1,3,5).

Passo 1

O enunciado dá um sistema de duas equações que definem a reta r como interseção de dois planos em ℝ³ e pede a distância do ponto P=(1,3,5) até essa reta. O conteúdo envolve distância de ponto a reta em 3D; para resolver vamos precisar da forma paramétrica de r, do vetor diretor v e da fórmula d=| (P-P0)times v ||v|.

Passo 2

Para obter a forma paramétrica de r, resolvemos o sistema
x+y-z=1 x-y+z=2
Somando as duas equações temos 2x=3, logo x=3/2. Substituindo em x+y-z=1 y-z=-1/2. Tomando z=t, vem y=t-1/2. Assim escolhemos
P0=(3/2,-1/2,0), v=(0,1,1)
pela parametrização (x,y,z)=P0+t,v.

Passo 3

A fórmula da distância de um ponto P a uma reta r com ponto base P0 e vetor diretor v é
dada por
$$
d=\frac{|(P-P_0)\times v|}{|v|}$$
Aqui d=|(P-P0)times v||v| é o vetor que liga P-P0 a P e o produto vetorial mede a área do paralelogramo formado por P0 e v.

Passo 4

Calculamos primeiro
P-P0=(1,3,5)-(3/2,-1/2,0)=(-1/2,7/2,5)
Então o produto vetorial é
(P-P0)times v= i&j&k -1/2&7/2&5 0&1&1=(-3/2,,1/2,,-1/2)
As normas são
|(P-P0)times v|=raiz(-3/2)^2+(1/2)^2+(-1/2)^2=raiz112, |v|=raiz1^2+1^2=raiz2

Passo 5

Substituindo na fórmula
d=raiz112raiz2=raiz112raiz2=raiz224

Resposta

raiz224

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