Seja
:
. Obter distância de
até
.
Passo 1
O enunciado dá um sistema de duas equações que definem a reta r como interseção de dois planos em ℝ³ e pede a distância do ponto P=(1,3,5) até essa reta. O conteúdo envolve distância de ponto a reta em 3D; para resolver vamos precisar da forma paramétrica de r, do vetor diretor v e da fórmula
.
Passo 2
Para obter a forma paramétrica de r, resolvemos o sistema
Somando as duas equações temos
, logo
. Substituindo em
dá
. Tomando
, vem
. Assim escolhemos
pela parametrização
.
Passo 3
A fórmula da distância de um ponto P a uma reta r com ponto base
e vetor diretor
é
dada por
dada por
$$
d=\frac{|(P-P_0)\times v|}{|v|}$$
Aqui é o vetor que liga
a P e o produto vetorial mede a área do paralelogramo formado por
e v.
Aqui
Passo 4
Calculamos primeiro
Então o produto vetorial é
As normas são
Passo 5
Substituindo na fórmula
dá
dá