Um parafuso produzido por um torno automático poderá ter uma pequena variação no seu comprimento, dada em milímetros. Afirma-se que o comportamento aleatório do comprimento pode ser modelado por:
f(x)= k x+1532, & 116 <= x <= 3316 0, & caso contrário á
a) Determine o valor de k tal que f(x) seja, de fato, uma função densidade de probabilidade.
b) Para um parafuso escolhido ao acaso dentre os produzidos por esse torno, qual a probabilidade de obtermos um comprimento maior que 1 milímetro?

Passo 1

O enunciado dá uma variável contínua
Precisamos (a) determinar e (b) calcular .

Passo 2

Impondo a normalização,
integral1/16^33/16l(k,x + tfrac1532r),dx = 1
Separemos em duas integrais:
integral1/16^33/16 k,x,dx = k[x^22]1/16^33/16 = kcdot12l(l(tfrac3316r)^2 - l(tfrac116r)^2r) = kcdot178,
integral1/16^33/161532,dx = 1532,( tfrac3316-tfrac116) = 1532cdot 2 = 1516
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kcdot178 + 1516 = 1 Longrightarrow kcdot178 = 116 Longrightarrow k = 116cdot817 = 134

Passo 3

Com k=tfrac134, calculamos
P(X>1)=integral1^33/16l(tfrac134,x + tfrac1532r),dx
De novo, duas parcelas:
integral1^33/16x34,dx = 134[x^22]1^33/16 = 168l(l(tfrac3316r)^2 - 1r) = 83317408,
integral1^33/161532,dx = 1532l(tfrac3316-1r) = 255512 = 867017408
Somando,
P(X>1)=83317408+867017408 =950317408approx0,546

Resposta

a) k = tfrac134
b) P(X>1)=tfrac950317408approx0,546

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