Um paralelepípedo é determinado pelos vetores
u=(2,-1,3), v=(2,2,1) e w=(-2,1,0)
Encontre a altura relativa a base definida pelos vetores v e w

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paralelepípedo definido pelos vetores u = (2, -1, 3), v = (2, 2, 1) e w = (-2, 1, 0). A pergunta é para encontrar a altura relativa à base definida pelos vetores v e w. Para isso, vamos precisar usar conceitos de produto vetorial e escalar para calcular o volume e a área da base, e daí encontrar a altura.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o produto vetorial entre v e w, que nos dá um vetor perpendicular à base definida por esses dois vetores. A fórmula do produto vetorial é:
v times w = i & j & k 2 & 2 & 1 -2 & 1 & 0
Calculando o determinante:
v times w = i(2 cdot 0 - 1 cdot 1) - j(2 cdot 0 - 1 cdot (-2)) + k(2 cdot 1 - 2 cdot (-2))
v times w = i(-1) - j(2) + k(6) = (-1, -2, 6)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o vetor u e o resultado do produto vetorial v times w. O produto escalar nos dá uma medida que está relacionada ao volume do paralelepípedo.
u cdot (v times w) = (2)(-1) + (-1)(-2) + (3)(6) = -2 + 2 + 18 = 18

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a magnitude do vetor v times w, que representa a área da base do paralelepípedo.
|v times w| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + 6^2 = raiz1 + 4 + 36 = raiz41

Passo 5

Agora, para achar a altura relativa à base v e w, usamos a relação entre o volume e a área da base:
A<ura = |u cdot (v times w)||v times w| = 18raiz41

Resposta

A altura relativa à base definida pelos vetores v e w é dfrac18raiz41.

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