Quais dos subconjuntos abaixo são subespaços?
U=(x, y, z, w) in R^4 ; x=y=0.

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
U = (x,y,z,w)inR^4 mid x = 0 e y = 0
e pergunta se ele é subespaço de R^4. Para isso, vamos verificar as três propriedades de subespaço vetorial: conter o vetor zero, fechar em soma e fechar em multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de R^4, isto é (0,0,0,0), pertence a U. Como suas primeiras coordenadas são 0 e 0, temos
(0,0,0,0)in U

Passo 3

Verificamos fechamento em soma. Tomemos dois vetores genéricos em U:
u = (0,0,z1,w1), v = (0,0,z2,w2)
Então
u + v = (0+0,,0+0,,z1+z2,,w1+w2) = (0,0,z1+z2,w1+w2)
Como as duas primeiras coordenadas continuam sendo zero, segue que u+vin U.

Passo 4

Verificamos fechamento em multiplicação escalar. Seja lambdainR e
u = (0,0,z,w)in U
Então
lambda u = (lambdacdot0,,lambdacdot0,,lambda z,,lambda w) = (0,0,lambda z,lambda w),
e novamente as duas primeiras coordenadas são zero, logo lambda uin U.

Passo 5

Como U contém o vetor zero, é fechado em soma e fechado em produto escalar, concluímos que U é de fato um subespaço vetorial de R^4. Além disso, note que U é isomorfo a R^2 (suas coordenadas livres são z e w).

Resposta

U é subespaço de R^4.

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