Quais dos subconjuntos abaixo são subespaços?
.
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
e pergunta se ele é subespaço de
. Para isso, vamos verificar as três propriedades de subespaço vetorial: conter o vetor zero, fechar em soma e fechar em multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero de
, isto é
, pertence a
. Como suas primeiras coordenadas são
e
, temos
Passo 3
Verificamos fechamento em soma. Tomemos dois vetores genéricos em
:
Então
Como as duas primeiras coordenadas continuam sendo zero, segue que
.
Passo 4
Verificamos fechamento em multiplicação escalar. Seja
e
Então
e novamente as duas primeiras coordenadas são zero, logo
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado em soma e fechado em produto escalar, concluímos que
é de fato um subespaço vetorial de
. Além disso, note que
é isomorfo a
(suas coordenadas livres são
e
).