Seja A B C D E F um hexágono regular com centro O. Sabemos que, pelas propriedades da figura, vetores como \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{E D} são idênticos. A qual vetor a soma \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A F} é geometricamente igual?

Passo 1

O enunciado dá estas informações:
  • Há um hexágono regular A B C D E F com centro O.
  • Sabe-se, como exemplo das propriedades, que vetores como \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{E D} são idênticos.
    A pergunta é: a qual vetor a soma \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A F} é geometricamente igual?

Passo 2

Lembrete útil sobre vetores em polígonos: para quaisquer pontos X e Y vale
\overrightarrow{X Y}=\overrightarrow{O Y}-\overrightarrow{O X},
onde \overrightarrow{O X} é o vetor posição de X em relação a O. Vou usar essa identidade aplicada aos dois vetores da soma.

Passo 3

Escrevendo \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A F} em termos dos vetores posição:
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}, \qquad \overrightarrow{A F}=\overrightarrow{O F}-\overrightarrow{O A}.
Somando:
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A F}=(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O F})-2\overrightarrow{O A}.

Passo 4

Agora usamos a simetria do hexágono regular. Seja R o comprimento de \overrightarrow{O A} e escolha o eixo x na direção de \overrightarrow{O A}. Então, em coordenadas:
\overrightarrow{O A}=(R,0), \quad \overrightarrow{O B}=\bigl(R\cos 60^\circ,\;R\sin 60^\circ\bigr), \quad \overrightarrow{O F}=\bigl(R\cos 60^\circ,\;-R\sin 60^\circ\bigr).
Somando \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O F} as componentes y se cancelam e as x somam:
\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O F}=\bigl(2R\cos 60^\circ,\;0\bigr).

Passo 5

Como \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}, obtemos
\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O F}=\bigl(2R\cdot\tfrac{1}{2},\;0\bigr)=(R,0)=\overrightarrow{O A}.
Substituindo isso na expressão do Passo 3:
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{O A}-2\overrightarrow{O A}=-\overrightarrow{O A}.

Passo 6

Finalmente, -\overrightarrow{O A} é exatamente o vetor que vai de A para O, isto é \overrightarrow{A O}. Intuição geométrica: ao somar os dois lados adjacentes saindo de A (\overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A F}) chega-se ao centro O.

Resposta

\overrightarrow{A O}

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