No triângulo A B C, os pontos M e N são, respectivamente, os pontos médios dos lados A B e A C. Expresse a relação da base média \overrightarrow{M N} com o lado \overrightarrow{B C} usando operações vetoriais.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo A B C e diz que M e N são os pontos médios de A B e A C, respectivamente.
O que é pedido: expressar a relação entre a base média \overrightarrow{M N} e o lado \overrightarrow{B C} usando operações vetoriais.
Informações relevantes fornecidas:
  • M é o ponto médio de A B.
  • N é o ponto médio de A C.

Passo 2

Lembrete sobre ponto médio em termos vetoriais (a ideia-chave): se P é o ponto médio de X Y, então o vetor que vai de X até P vale metade do vetor de X até Y. Em símbolos:
\overrightarrow{X P}=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{X Y}.
Aplicando isso aos dados:
\overrightarrow{A M}=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{A B}, \qquad \overrightarrow{A N}=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{A C}.
(Expliquei porque: o ponto médio divide o segmento em duas partes iguais, então o vetor de A até o ponto médio é exatamente metade do vetor do segmento.)

Passo 3

Agora escrevo \overrightarrow{M N} usando vetores que já conheço. Uma identidade vetorial útil é:
\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{A N}.
Note que \overrightarrow{M A}=-\overrightarrow{A M}. Substituo as expressões do passo anterior:
\overrightarrow{M N}=-\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A N} =-\tfrac{1}{2}\overrightarrow{A B}+\tfrac{1}{2}\overrightarrow{A C}.

Passo 4

Fatorando \tfrac{1}{2}:
\overrightarrow{M N}=\tfrac{1}{2}\big(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}\big).
Agora uso a relação entre \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{B C}. Pela adição de vetores ao deslocar pontos:
\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}.
Rearranjando,
\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B C}.

Passo 5

Substituindo na expressão de \overrightarrow{M N} obtemos:
\overrightarrow{M N}=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{B C}.
Interpretação geométrica rápida e motivadora: isso diz que o segmento M N é paralelo a B C e tem metade do comprimento — a famosa propriedade da base média (midline) em triângulos.

Resposta

\overrightarrow{M N}=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{B C}

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