Parametrizar parte da esfera
abaixo do plano
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que parametrizar uma parte da esfera dada por
que está abaixo do plano
. Isso envolve geometria espacial, especificamente coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar entender como representar pontos na esfera usando parâmetros angulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como parametrizar uma esfera inteira usando coordenadas esféricas. Normalmente, usamos dois ângulos:
(theta), que varia de
a
e representa a rotação ao redor do eixo
, e
(phi), que varia de
a
e representa a inclinação a partir do eixo
. As fórmulas são:
Passo 3
Agora, como a gente quer apenas a parte da esfera que está abaixo do plano
, precisamos determinar os valores de
que satisfazem essa condição. Sabemos que
, então queremos:
Passo 4
Para encontrar os valores de
que atendem a essa inequação, vamos resolver:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Então, os limites dos parâmetros ficam assim:
Resposta
A parametrização da parte da esfera
que está abaixo do plano
é dada por:
com os parâmetros variando em: