Parametrizar parte da esfera x^2+y^2+z^2=1 abaixo do plano z=1 / 2

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que parametrizar uma parte da esfera dada por x^2 + y^2 + z^2 = 1 que está abaixo do plano z = 12. Isso envolve geometria espacial, especificamente coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar entender como representar pontos na esfera usando parâmetros angulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como parametrizar uma esfera inteira usando coordenadas esféricas. Normalmente, usamos dois ângulos: theta (theta), que varia de 0 a 2pi e representa a rotação ao redor do eixo z, e phi (phi), que varia de 0 a pi e representa a inclinação a partir do eixo z. As fórmulas são:
x = sinphi costheta
y = sinphi sintheta
z = cosphi

Passo 3

Agora, como a gente quer apenas a parte da esfera que está abaixo do plano z = 12, precisamos determinar os valores de phi que satisfazem essa condição. Sabemos que z = cosphi, então queremos:
cosphi <= 12

Passo 4

Para encontrar os valores de phi que atendem a essa inequação, vamos resolver:
cosphi <= 12 implies phi >= arccos(12)
Sabemos que arccos(12) = pi3, então:
phi >= pi3

Passo 5

Então, os limites dos parâmetros ficam assim:
theta in [0, 2pi)
phi in [pi3, pi]

Resposta

A parametrização da parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 que está abaixo do plano z = 12 é dada por:
x = sinphi costheta
y = sinphi sintheta
z = cosphi
com os parâmetros variando em:
theta in [0, 2pi)
phi in [pi3, pi]

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