Parametrize o conjunto dado.
(x, y, z) in R^3 mid 2 x+y+4 z=5.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar o plano em R^3 definido por
2x + y + 4z = 5
O conteúdo é parametrização de superfícies planas, onde precisamos expressar dois graus de liberdade.

Passo 2

Para começar, encontramos uma solução particular do plano. Basta escolher valores convenientes para duas variáveis e determinar a terceira. Por exemplo, tomando
x=0, z=0,
a equação dá
y = 5
Logo, um ponto particular é
P = (0,,5,,0)

Passo 3

Agora encontramos a solução geral da parte homogênea
2x + y + 4z = 0
Parametrizando com dois parâmetros s e t, seja
x = s, z = t
Então
y = -2s - 4t
Isso gera os vetores de direção
v1 = (1,,-2,,0), v2 = (0,,-4,,1)

Passo 4

A solução geral do plano é a soma da parte particular com a combinação linear da homogênea:
(x,y,z) = P + s,v1 + t,v2 = (0,5,0) + s,(1,-2,0) + t,(0,-4,1)
Reagrupando componentes, obtemos
(x,y,z) = l(s,;5 - 2s - 4t,;tr),
com s,tinR.

Resposta

Uma parametrização é
(x,y,z) = l(s,;5 - 2s - 4t,;tr), s,tinR

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