(2,5 pontos) Determine L para que a função
f(x)=cc 1-cos xx & , se x neq 0 ; L & , se x=0
seja contínua no ponto x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de L que faz a função
f(x)=cc 1-cos xx & , se x neq 0 ; L & , se x=0
ser contínua no ponto x = 0 . Vamos usar conceitos de limites e continuidade para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função f(x) é contínua em x = a se:
limx to a f(x) = f(a)
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em x = 0 . Então, precisamos que:
limx to 0 f(x) = f(0) = L

Passo 3

Vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 0:
limx to 0 1 - cos xx
Para resolver esse limite, podemos usar a série de Taylor da função cosseno. A série de Taylor de cos x em torno de 0 é:
cos x = 1 - x^22 + x^424 - dots
Então, substituindo na expressão do limite:
1 - cos x = x^22 - x^424 + dots

Passo 4

Agora, substituímos isso na fração:
1 - cos xx = x^22 - x^424 + dotsx = x^22x - x^424x + dots = x2 - x^324 + dots

Passo 5

Quando x se aproxima de 0, os termos com x e potências superiores tendem a 0. Portanto:
limx to 0 1 - cos xx = 0

Passo 6

Para que a função seja contínua em x = 0 , precisamos que:
L = limx to 0 1 - cos xx = 0

Resposta

O valor de L que torna a função contínua em x = 0 é 0.

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