(2,5 pontos) Determine
para que a função
seja contínua no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de
que faz a função
ser contínua no ponto
. Vamos usar conceitos de limites e continuidade para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se:
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em
. Então, precisamos que:
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0:
Para resolver esse limite, podemos usar a série de Taylor da função cosseno. A série de Taylor de
em torno de 0 é:
Então, substituindo na expressão do limite:
Passo 4
Agora, substituímos isso na fração:
Passo 5
Quando
se aproxima de 0, os termos com
e potências superiores tendem a 0. Portanto:
Passo 6
Para que a função seja contínua em
, precisamos que:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua em
é 0.