(2,0 pontos) Defina e dê um exemplo, com sua respectiva prova de:
a) ( 0,5 pontos) Função,
b) ( 0,5 pontos) Domínio de uma função,
c) ( 0,5 pontos) Limite de uma função,
d) ( 0,5 pontos) Função continua.
a) ( 0,5 pontos) Função,
b) ( 0,5 pontos) Domínio de uma função,
c) ( 0,5 pontos) Limite de uma função,
d) ( 0,5 pontos) Função continua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente definir e dar exemplos com prova de quatro conceitos importantes de funções: função, domínio de uma função, limite de uma função e função contínua. Para isso, vamos precisar entender cada conceito e saber como demonstrar um exemplo que ilustre cada um deles.
Passo 2
a) Função
Definição: Uma função é uma regra que associa cada elemento de um conjunto chamado domínio a exatamente um elemento de outro conjunto, chamado contradomínio.
Exemplo: Vamos considerar a função
definida por
.
Prova do exemplo: Para mostrar que
é uma função, precisamos verificar que para todo
no domínio (que é
), existe um único valor de
.
Tomando qualquer
, ao substituir na expressão
, obtemos um único valor real. Portanto, cada
está associado a exatamente um
, confirmando que
é uma função.
Passo 3
b) Domínio de uma função
Definição: O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (x) para os quais a função está definida.
Exemplo: Consideremos a função
.
Prova do exemplo: Para que a função
esteja definida, o que está dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero, ou seja:
Portanto, o domínio de
é
.
Passo 4
c) Limite de uma função
Definição: O limite de uma função em um ponto é o valor que a função se aproxima quando a variável independente se aproxima desse ponto.
Exemplo: Vamos determinar o limite de
quando
se aproxima de 1.
Prova do exemplo: Primeiro, tentamos substituir
:
Como obtemos uma indeterminação, simplificamos a expressão:
Cancelando
:
\lim_{x \to 1} h(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 $$
Portanto, o limite de
quando
se aproxima de 1 é 2.
Passo 5
d) Função contínua
Definição: Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando a variável se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Se for contínua em todos os pontos do seu domínio, chamamos de função contínua.
Exemplo: Vamos verificar se a função
é contínua em
.
Prova do exemplo: Primeiro, calculamos o valor da função em
:
Agora, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 1:
Como o limite é igual ao valor da função em
, a função
é contínua nesse ponto. Como essa propriedade vale para qualquer
, a função é contínua em todo o seu domínio.
Resposta
A) Função: Uma função associa cada elemento do domínio a exatamente um elemento do contradomínio. Exemplo:
é uma função porque para cada
real, existe um único
.
B) Domínio de uma função: É o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função está definida. Exemplo: Para
, o domínio é
.
C) Limite de uma função: É o valor que a função se aproxima quando a variável independente se aproxima de um ponto específico. Exemplo:
.
D) Função contínua: Uma função é contínua em um ponto se o limite da função nesse ponto é igual ao valor da função. Exemplo:
é contínua em
porque
.