(2,0 pontos) Defina e dê um exemplo, com sua respectiva prova de:
a) ( 0,5 pontos) Função,
b) ( 0,5 pontos) Domínio de uma função,
c) ( 0,5 pontos) Limite de uma função,
d) ( 0,5 pontos) Função continua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente definir e dar exemplos com prova de quatro conceitos importantes de funções: função, domínio de uma função, limite de uma função e função contínua. Para isso, vamos precisar entender cada conceito e saber como demonstrar um exemplo que ilustre cada um deles.

Passo 2

a) Função
Definição: Uma função é uma regra que associa cada elemento de um conjunto chamado domínio a exatamente um elemento de outro conjunto, chamado contradomínio.
Exemplo: Vamos considerar a função f: R R definida por f(x) = 2x + 3 .
Prova do exemplo: Para mostrar que f é uma função, precisamos verificar que para todo x no domínio (que é R ), existe um único valor de f(x) .
Tomando qualquer x in R , ao substituir na expressão f(x) = 2x + 3 , obtemos um único valor real. Portanto, cada x está associado a exatamente um f(x) , confirmando que f é uma função.

Passo 3

b) Domínio de uma função
Definição: O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (x) para os quais a função está definida.
Exemplo: Consideremos a função g(x) = raizx - 1 .
Prova do exemplo: Para que a função g(x) esteja definida, o que está dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero, ou seja:
x - 1 >= 0
x >= 1
Portanto, o domínio de g(x) é [1, +infty) .

Passo 4

c) Limite de uma função
Definição: O limite de uma função em um ponto é o valor que a função se aproxima quando a variável independente se aproxima desse ponto.
Exemplo: Vamos determinar o limite de quando se aproxima de 1.
Prova do exemplo: Primeiro, tentamos substituir :
Como obtemos uma indeterminação, simplificamos a expressão:
Cancelando :
\lim_{x \to 1} h(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 $$
Portanto, o limite de quando se aproxima de 1 é 2.

Passo 5

d) Função contínua
Definição: Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando a variável se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Se for contínua em todos os pontos do seu domínio, chamamos de função contínua.
Exemplo: Vamos verificar se a função f(x) = 3x - 2 é contínua em x = 1 .
Prova do exemplo: Primeiro, calculamos o valor da função em x = 1 :
f(1) = 3(1) - 2 = 1
Agora, calculamos o limite de f(x) quando x se aproxima de 1:
limx to 1 f(x) = limx to 1 (3x - 2) = 1
Como o limite é igual ao valor da função em x = 1 , a função f(x) é contínua nesse ponto. Como essa propriedade vale para qualquer x , a função é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

A) Função: Uma função associa cada elemento do domínio a exatamente um elemento do contradomínio. Exemplo: f(x) = 2x + 3 é uma função porque para cada x real, existe um único f(x) .
B) Domínio de uma função: É o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função está definida. Exemplo: Para g(x) = raizx - 1 , o domínio é [1, +infty) .
C) Limite de uma função: É o valor que a função se aproxima quando a variável independente se aproxima de um ponto específico. Exemplo: limx to 1 x^2 - 1x - 1 = 2 .
D) Função contínua: Uma função é contínua em um ponto se o limite da função nesse ponto é igual ao valor da função. Exemplo: f(x) = 3x - 2 é contínua em x = 1 porque limx to 1 f(x) = f(1) = 1 .

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